chapter3 复变函数的幂级数展开.ppt

* 注意：在内圆环内有奇点，但并不意味着在z0一定是奇点。 * 注：有理式按照奇点分成因式时其系数就是该点的留数 * * * 三 洛朗级数 定理 C为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线. 为洛朗系数. 1) * 证 对于第一个积分: R r . z . . * 对于第二个积分: R r . z . . * 则 * 如果C为在圆环域内绕 的任何一条正向简单 闭曲线 . 则 可用一个式子表示为: [证毕] * 说明: 函数 在圆环域内的洛朗展开式 在圆环域内的洛朗(Laurent)级数. 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的洛朗级数. 定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法. * 2)将函数展为洛朗级数的方法 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . (2) 间接展开法 (1) 直接展开法 * 例 解 * z 例 解 均有 . . -1 2 0 y x . * 例 解 ？ * z 例 解 有 . . -1 2 0 y x . * x z . . -1 2 0 y . * 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的. * 四、孤立奇点的概念 定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 例1 是函数 的孤立奇点. 是函数 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. * 例 指出函数 在点 的奇点特性. 解 即在 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 不是孤立奇点. 所以 * 孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那么孤立奇点 称为 的可去奇点. 1) 定义 * 其和函数 为在 解析的函数. 说明: (1) (2) 无论 在 是否有定义, 补充定义 则函数 在 解析. * 2) 可去奇点的判定 (1) 由定义判断: 的洛朗级数无负 在 如果 幂项则 为 的可去奇点. (2) 判断极限 若极限存在且为有限值, 则 为 的可去奇点. * 如果补充定义: 时, 那么 在 解析. 例 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . * 例 说明 为 的可去奇点. 解 所以 为 的可去奇点. 无负幂项 另解 的可去奇点. 为 * 2. 极点 其中关于 的最高幂为 即 阶极点. 那么孤立奇点 称为函数 的 或写成 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, * 说明: 1. 2. 特点: (1) (2) 的极点 , 则 为函数 如果 (3) 的m阶极点 , 则 为函数 如果 * 例 有理分式函数 是二级极点, 是一级极点. * 2)极点的判定方法 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 (1) 由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别 (3) 利用极限 判断 . * 课堂练习 求 的奇点, 如果是极点, 指出它的 级数. 答案 * 本性奇点 3. 如果洛朗级数中含有无穷多个 那么孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 例如， 含有无穷多个z的负幂项 同时 不存在. * 特点: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 * 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数特点 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有限个负幂项 关于 的最高幂 为 * 复数项级数 函数项级数 充 要 条 件 必 要 条 件 幂级数 收敛半径R 复 变 函 数 绝 对 收 敛 运算与性质 收敛条件 条 件 收 敛 复数列 收敛半径的计算 泰勒级数 洛朗级数 小结 本章作业 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 基础题 √ （1） （4）（5） 中等题 √ √ （2）（3） （1）（2） （1） （3）（5） 难题 √ （4） （3） （2）（4）（6） 第一节 第二节 第三节 * 绝对收敛在物理上意味着它是一稳定的个物理系统 Which means that a bounded input will not yield an unbounded output. * 数学物理方法 李晓红 西南科技大学理学院 * * 复变函数的幂级数展开 一、幂级数 二、泰勒级数展开 三、洛朗级数展开 四、奇