D10_4函数展开成幂级数.ppt

第四节 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 定义 : 定理2 . 二、函数展开成幂级数 例1. 将函数 例2. 将 例3. 将函数 2. 间接展开法 例5. 将函数 例6. 将 例7. 将 例8. 将 内容小结 思考与练习 例3 附注 备用题 1. 2. 将 泰勒 ( Taylor ) 公式 * * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题 1.如果函数能展成幂级数，系数是什么？ 以及展开式是否唯一？ 2.在什么条件下才能展开成幂级数？ 由上一节的学习，我们知道幂级数有非常好的性质， 所以我们想把函数写成一个幂级数，即 证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它是否收敛 ？ 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 待解决的问题： 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 可见 在x=0点任意可导, 泰勒级数是否收敛于 f (x) ? 不一定。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于f (x)的泰勒级数收敛于 f (x) 的条件，我们有定理： 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明（必要性） 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明:（充分性） 令 定理 2 ：设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 泰勒公式 目录 上页 下页 返回 结束 f (x) 的泰勒公式: 即f (x)的泰勒级数收敛于 f (x) 。 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可推出: (P205 例4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数, 其中a 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 a, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推导 则 推导 目录 上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 a 有关 . (2) 当 a 为正整数时, 级数为 x 的 a 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此得 对应 的二项展开式分别为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 区间为 利用此题可得 上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展成 解: 的幂级数.