第五节 函数展开成幂级数.ppt

无穷级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、欧拉公式 四、小结 * 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 三、欧拉公式 四、小结 第五节 函数的泰勒级数 上节例题 存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, 证明 必要性 充分性 证明 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 例2 解 例3 解 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解 例5 复数项级数: 复数项级数绝对收敛的概念 三个基本展开式 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系. 欧拉公式