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向量题型分析，难题集 向量法证明几何、三角函数中定理、公式 例1 向量法证明两角差的余弦公式 析：教科书上的探究有利用单位圆上的三角函数线和向量的知识，运用向量工具进行探索，过程十分简洁！ 例2 证明：对于任意的，恒有不等式 证明：设, 即 BA B A C 证明：如图， 即 利用向量还可以证明平面几何的许多命题，例如菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分以及关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质。 例4．在△ABC内求一点P，使的值最小。 解：如图，设=，=，=，=—，=—。 A P C A P C B =—+—+ =3—2（+）++ =3[++。 根据向量运算的意义，知 当时，有最小值。 设M为AB的中点，易知=， 即当时，，此时P为三角形的重心。 向量法解决代数中的最值问题 例5 求的最值. 解：构造向量 因为 所以 评：向量是解决数学问题的重要工具，根据函数的形式，结构特征，巧妙构造向量可化难为易，获得新颖、快捷的解法。 例2： 求函数的最大值。 解：因为 ； 所以 设 则 当且仅当与平行且方向相同时不等式取等号 即， 解之得，当时， 向量的线性运算，面积结论，三角形几个心问题 1.已知O是所在平面内的一点，内角A,B,C所对应的边长分别为，若，则O是的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 2已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 3已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4已知O是所在平面内的一点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 5的外接园的园心为，P是所在平面上的一点，若，则P必过三角形的 ( ) 外心 内心 重心 垂心 6若定点O满足，则O是（ ） 外心 内心 重心 垂心 7设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是 8如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为( ) A. B. C. D. 9如图，已知为上一点，P为外一点，满足= 2，，，为上一点，且有，则的值为（ ） A．1 B．2 C．+1 D．–1 10若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为 （ ） （） （） （） （） 11在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则= A．2 B．4 C．5 D．10 12如图所示，直线与双曲线的渐近线交于两点，记，任取双曲线上的点P，若，则满足的一个等式是 ____ 13已知O为锐角的外心，，若，且，则 14,B,P是直线上不同的三点，点O直线外，若，则 15.各棱长都等于2的四面体ABCD中，设G为BC的中点，E为内动点，且，若，则 16平面上O,A,B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（c ） (A) (B) (C) (D) 17设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点 (C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上 18已知不共线，且有,则请比较的大小____________ 19设是内的一点，求的最