【步步高】高考数学一轮复习_函数-师.pdf

§2.1 函数及其表示 考试这么考 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的 基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 复习备考要这样做 1.在研究函数问题时，要树立 “定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本 方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念． 1． 函数的基本概念 (1)函数的定义 设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y＝f(x)， x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法． 2． 映射的概念 设 A、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射． 3． 函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. 1 (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. x (4)y＝a (a0 且 a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R.  π  (5)y＝tan x 的定义域为x |x∈R且x≠kπ ＋ ，k∈Z.  2  a (6)函数 f(x)＝x 的定义域为{x |x∈R 且 x≠0}． [重难点] 1． 函数的三要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数 的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2． 函数与映射 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合 A 与集合 B 只能是非空数集，即函数是非空数集 A 到非 空数集 B 的映射． (2)映射不一定是函数，从 A 到 B 的一个映射，A、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 3． 函数的定义域 (1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数 y＝f(t)，t＝q (x)的定义域的方法： ①若 y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得 aq (x)b 即可求出y＝f(q (x))的定义域； ②若 y＝f(g (x))的定义域为(a，b)，则求出g (x)的值域即为 f(t)的定义域． 4 1． 设函数 f(x)＝ ，若 f(a)＝2，则实数 a＝________. 1－x 4 4 答案 －1 解析 ∵f(x)＝ ，∴f(a)＝ ＝2，∴a＝－1. 1－x 1－a 2． (课本改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝ x－2＋ 2－x是函数；③函数 y＝2x (x∈N)的图象是一 2 x 条直线；④f(x)＝ 与 g (x)＝x 是同一个函数． x 其