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历年高考函数大题分类归纳
一、函数大题1.(本小题满分13分)2011
设.
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和
的值.(注:区间的长度为)
解:(1)已知,
又在处取极值,
则,又在处取最小值-5.
则
(2)要使单调递减,则
又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b。即有:
b-a为区间长度。又
又b-a为正整数,且m+n10,所以m=2,n=3或,符合。
2.(本小题满分12分)2010
设函数.
(1)若的两个极值点为,且,求实数的值;
(2)是否存在实数,使得是上的单调函数?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
解:
(1)由已知有,从而,所以;
(2)由,
所以不存在实数,使得是上的单调函数.
3.(本小题满分12分)2009
设函数
(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;
(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围
解:(1) ,
因为,, 即 恒成立,
所以 , 得,即的最大值为
(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;
故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.
4.已知函数 2008
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数的图像与直线恰有两个交点,求的取值范围.
解:(1)因为
令得
由时,在根的左右的符号如下表所示
极小值
极大值
极小值
所以的递增区间为;的递减区间为
(2)由(1)得到,
要使的图像与直线恰有两个交点,只要或,
即或.
5.(本小题满分12分)2007
已知函数满足.
(1)求常数的值;
(2)解不等式.
解:(1)因为,所以;由,即,.
(2)由(1)得
由得,
当时,解得;当时,解得,
所以的解集为.
6.(本小题满分12分) 2006
已知函数在与时都取得极值.
(1)求、的值及函数的单调区间;
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.
解:
极大值
极小值
所以函数的递增区间为与; 递减区间为.
7.(本小题满分12分)2005
已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k1,解关于x的不等式;.
解:(1)将得
(2)不等式即为
即
①当
②当
③.
二、三角函数
1.(本小题满分12分)2011
在中,的对边分别是,已知.
(1)求的值;
(2)若,求边的值.
解:(1)由 正弦定理得:
及:所以。
(2)由
展开易得:
正弦定理:
2.(本小题满分12分)2010
已知函数.
(1)若,求;
(2)若,求的取值范围.
解:(1)
由得,
,所以.
(2)由(1)得
由得,所以
从而.
3.(本小题满分12分)2009
在△中,所对的边分别为,,.
(1)求;
(2)若,求,,.
解:(1)由 得
则有 =
得 即.
(2) 由 推出 ;而,
即得,
则有 解得
4.(本小题满分12分) 2008
已知,
(1)求的值;
(2)求函数的最大值.
解:(1)由 得,
于是=.
(2)因为 所以
的最大值为.
5.(本小题满分12分)2007
如图,函数的图象与轴相交于点,
且该函数的最小正周期为.
(1)求和的值;
(2)已知点,点是该函数图象上一点,点
是的中点,当,时,求的值.
解:(1)将,代入函数中得,
因为,所以.
由已知,且,得.
(2)因为点,是的中点,.
所以点的坐标为.
又因为点在的图象上,且,所以,
,从而得或,
即或.
6.(本小题满分12分) 2006
在锐角△中,角、、所对的边分别为、、,已知
(1)求的值; (2)若,求的值。
解:(1)因为锐角△中,,所以
则
(2)因为,又
则.将代入余弦定理:
得解得.
7.(本小题满分12分)2005
已知向量.
求函数f(x)的最大值,最小正周期,并写出f(x)在[0,π]上的单调区间.
解:
当时, 最小正周期为
在是单调增加,在是单调减少
三、概率试题
1.(本小题满分12分)2011
某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备
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