高中数学导数知识点归纳总结例题.doc

资料 导 数 考试内容：导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 导 数 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=. 注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零. ②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为. 2. 函数在点处连续与点处可导的关系： ⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. 事实上，令，则相当于. 于是 ⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的. 例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为 4. 求导数的四则运算法则： （为常数） 注：①必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导. 5. 复合函数的求导法则：或 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数在区间内恒有=0，则为常数. 注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理） 当函数在点处连续时， ①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值； ②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值. 也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数，使=0，但不是极值点. ②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I.（为常数） （） II. III. 求导的常见方法： ①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得. 导数中的切线问题 例题1：已知切点，求曲线的切线方程 曲线在点处的切线方程为（　　） 例题2：已知斜率，求曲线的切线方程 与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　） 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 例题3：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 求过曲线上的点的切线方程． 例题4：已知过曲线外一点，求切线方程 求过点且与曲线相切的直线方程． 练习题：　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 看看几个高考题 1.（2009全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为 2.（