圆锥曲线直线圆锥曲线位置关系.doc

资料 . 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线和椭圆：为例 （1）联立直线与椭圆方程： （2）确定主变量（或）并通过直线方程消去另一变量（或），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：，整理可得： （3）通过计算判别式的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 ② 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 ③ 方程没有实根直线与椭圆相离 3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系 1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离 2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定 以直线和椭圆：为例： （1）联立直线与双曲线方程：，消元代入后可得： （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为，有可能为零。所以要分情况进行讨论 当且时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲线相交，只有一个公共点 当时，常数项为，所以恒成立，此时直线与双曲线相交 当或时，直线与双曲线的公共点个数需要用判断： ① 方程有两个不同实根直线与双曲线相交 ② 方程有两个相同实根直线与双曲线相切 ③ 方程没有实根直线与双曲线相离 注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切 （3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当时，点位于双曲线的右支；当时，点位于双曲线的左支。对于方程： ，设两个根为 ① 当时，则，所以异号，即交点分别位于双曲线的左，右支 ② 当或，且时，，所以同号，即交点位于同一支上 （4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到位置关系的判定 ① 且时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点 ② 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 ③ 或时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得：直线不一定与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。 （三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离 1、位置关系的判定：以直线和抛物线：为例 联立方程：，整理后可得： （1）当时，此时方程为关于的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，与抛物线相交 （2）当时，则方程为关于的二次方程，可通过判别式进行判定 ① 方程有两个不同实根直线与抛物线相交 ② 方程有两个相同实根直线与抛物线相切 ③ 方程没有实根直线与抛物线相离 2、焦点弦问题：设抛物线方程：， 过焦点的直线（斜率存在且），对应倾斜角为，与抛物线交于 联立方程：，整理可得： （1） （2） （3） （四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式： 1、直线与圆锥曲线问题的特点： （1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉）， （2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂 （3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出（所谓“设而不求”） （4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程 这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“ 2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，