[高考数学]等差数列与等比数列的证明方法.doc

等差数列与等比数列的证明方法 高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？ 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。 定义法 .证明数列是等差数列的充要条件的方法： .证明数列是等差数列的充分条件的方法： .证明数列是等比数列的充要条件的方法： .证明数列是等比数列的充要条件的方法： （n2，为常数且≠0） 注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）． 例1. 设数列中的每一项都不为0。 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 。 证明：先证必要性 设为等差数列，公差为d，则 当=0时，显然命题成立 当≠0时， ∵ ∴ 再证充分性： ∵ ………① ∴ ………② ②﹣①得： 两边同以得： ………③ 同理： ………④ ③—④得： 即： 为等差数列 例2. 设数列的前n项和为，试证为等差数列的充要条件是。 证：）若为等差数列，则 ……， 故 （）当n≥2时，由题设， 所以 同理有 从而 整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立. 从而{an}是等差数列. 例3.已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，…，仍成等比数列。 证明一： （1）当q=1时，结论显然成立； （2）当q≠1时， ∴= ∴成等比数列. 证明二：－=－ === 同理，－== ∴成等比数列。 二、中项法 (1).(充要条件) 若 (注：三个数为等差数列的充要条件是:) (充分条件) 2()是等差数列， （2）.(充要条件) 若 是等比数列 (充分条件) （n≥1）是等比数列， 注: 是a、b、c等比数列的充分不必要条件 是a、b、c等比数列的必要不充分条件. 是a、b、c等比数列的充要条件. 任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个. 三、通项公式与前项和法 1. 通项公式法 （1）.若数列通项能表示成（为常数）的形式， 则数列是等差数列。(充要条件) (2).若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式， 则数列是等比数列．(充要条件) 2. 前项和法 (1).若数列的前项和Sn能表示成 (a，b为常数)的形式， 则数列是等差数列；(充要条件) (2).若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式， 则数列是公比不为1的等比数列． (充要条件) 四、归纳—猜想---数学归纳证明法 先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。 这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡． 五、反证法 解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑． 六、等差数列与等比数列的一些常规结论 若数列是公比为的等比数列， 则 （1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列； （2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列； （3）数列是公比为的等比数列； （4）是公比为的等比数列； （5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为； （6）若成等差数列时，成等比数列； （7）均不为零时，则成等比数列； （8）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列． 若数列是公差为等差数列， 则 （1）成等差数列，公差为（其中是实常数）； （2），（为常数），仍成等差数列，其公差为； （3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为； （4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列； （5）成等差数列时，成等差数列．