高考数学一轮复习-基本初等函数知识点及典型例题.doc

基本初等函数 【整体感知】： 基本初等函数 基本初等函数 幂函数 一次函数 二次函数 第1讲 指数函数 【基础梳理】 1.根式 （1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做__a的n次方根_,其中n＞1且n∈N*.式子叫做__根式__, 这里n叫做____根指数___，a叫做__被开方数____. （2）根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____ 表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示, 负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根可以合写为________（a＞0）. ③ =___a___. ④当n为奇数时， =__a__;当n为偶数时， =________. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：（n∈N*）；②零指数幂：a0=__1__（a≠0）； ③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）； ④正分数指数幂：=_______（a0，m、n∈N*， 且n1）； ⑤负分数指数幂： = = (a0,m、n∈N*,且n1). ⑥0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______. （2）有理数指数幂的性质 ①aras= ar+s(a0,r、s∈Q); ②(ar)s= ars(a0,r、s∈Q); ③(ab)r= arbr(a0,b0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 ? y=ax(a＞0且a≠1) 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 R 值? 域 (0,+∞) 性质 (1)过定点___(0,1)______ (2)当x0时,__ y1__; x0时,__ 0y1__ (2)当x0时,___ 0y1_____; x0时,__ y1____ (3)在(-∞，+∞)上是_增函数_ (3)在(-∞，+∞)上是_减函数___ 【要点解读】 要点一 指数运算 【例1】 【标准解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留。 【误区警示】一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序，否则容易发生运算的错误。 【答案】 【变式训练】 （3）已知，求的值。 【标准解析】 （2）原式= 。 （3）∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴。 【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 要点二 指数函数的概念与性质 【例2】已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围． 【例3】设函数=为奇函数. 求：（1）实数a的值；（2）用定义法判断在其定义域上的单调性. 【标准解析】解决含指数式的各种问题，要熟练运用指数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。 【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。 【答案】(1)方法一 依题意，函数的定义域为R， ∵是奇函数， ∴=-，2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. 6分 方法二 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=0，即 ∴a=1. 6分 （2）由(1)知设且∈R， 8分 ∴,∴在R上是增函数.【变式训练】设 是定义在R上的函数.（1）可能是奇函数吗？（2）若是偶函数，试研究其单调性. 【标准解析】(1)方法一 假设是奇函数,由于定义域为R, ∴=-，,即 整理得 即即+1=0,显然无解. ∴不可能是奇函数. 方法二 若是R上的奇函数，则f(0)=0,即∴不可能是奇函数. (2)因为是偶函数，所以=,即 整理得 又∵对任意x∈R都成立，∴有得a=±1. 当a=1时，=,以下讨论其单调性， 任取∈R且, 当 ,为增函数, 此时需要，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0]为减区间. 当a=-1时，同理可得在（-∞，0］上是增函数，在［0，+∞）上是减函数. 【技巧点拨】解决含指数式的各种问题，关键是熟练运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识。 要点三 指数函数的图像与应用 【例4】若函数y=g(x)的图象与函数f(x)=(x－1)2(x≤1)的图象关于直线y=x对称,则g(x)的表达式是 （ ） 【命题立意】函数的图象经常和