②切线高考竞赛命题的风景线.doc

切线高考竞赛命题的风景线 1 切线高考竞赛命题的风景线 1.[切线方程]:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+b +cy0y+d+e+f=0. 该切线方程具有记忆价值,记忆的方法是:①看:从曲线G的方程:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0到曲线G在点P处的切线方程ax0x+b+cy0y+d+e+f=0;②不变:各项系数、常数项及运算符号不变;③变化规律:二次项:x2→x0x,y2→y0y:交叉项:xy→;一次项:x→,y→,由此易得: 推论:1.若点P(x0,y0)在圆G:(x-a)2+(y-b)2=R2上,则圆G在点P处的切线方程为:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2; 2.若点P(x0,y0)在椭圆G:=1上,则椭圆G在点P处的切线方程为:=1; 3.若点P(x0,y0)在双曲线G:=1上,则双曲线G在点P处的切线方程为:=1; 4.若点P(x0,y0)在抛物线G:y2=2px上,则抛物线G在点P处的切线方程为:y0y=p(x+x0);若点P(x0,y0)在抛物线G:x2=2py上,则抛物线G在点P处的切线方程为:x0x=p(y+y0). 2.[切线方程的应用]: [例1]:(2009年安徽高考试题)点P(x0,y0)在椭圆=1(ab0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0β.直线l2与直线 l1:=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ. (I)证明:点P是椭圆=1与直线l1的唯一交点; (II)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列. [分析]: [例2]:(2006年全国I高考试题)在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-)和F2(0,)为焦点,离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量. 求: (I)点M的轨迹方程; (Ⅱ)||的最小值. [分析]: 2 切线高考竞赛命题的风景线 [例3]:(2008年全国高中数学联赛山东初赛试题)F(1,0)为一定点,P(0,b)是y轴上的一动点,点M(a,0)满足=0.若点N满足2+=0,求: (I)点N的轨迹曲线C的方程; (Ⅱ)曲线C的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹. [分析]: [例4]:椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上(不在坐标轴上),椭圆C在P处的切线l与y轴交于A点,过点P且与切线l垂直的直线与y轴交B点,求证:A、B、F1、F2、P五点共圆. [分析]: [例5]:点P在椭圆C:=1(ab0)上,椭圆C的焦点为F,过原点O,且平行于椭圆C在P处的切线的直线与直线PF交于点Q,求证:|PQ|为定值. [分析]: [例6]:(第十七届全俄数学奥林匹克试题)己知抛物线y=-x2+bx+c与抛物线y=x2相切,求该抛物线的顶点的几何位置. [分析]: 切线高考竞赛命题的风景线 1 切线高考竞赛命题的风景线 高等几何中的配极和共轭 高等几何是初等几何(包括平面几何和解析几何)的继续和发展,高等几何把平面几何和解析几何等初等几何有机地形成一体,对初等几何的有关结果提供了理论依据,统一形成了初等几何中许多结论的一般性结果,并为解决初等几何的大量问题提供了一般性的简捷方法.其中关于二次曲线配极和共轭的研究就是一个极好的例子.通过对高考解析几何试题的抽丝剥茧、溯本求源,寻找其背景和根源,并进行深入研究表明:高考中大量的解析几何试题与二次曲线配极和共轭有关,可以说高等几何中的配极和共轭是高考解析几何试题的母题的母题. 我们感兴趣的是:①如何利用初等的方法,即中学生能接受的观点和思想,来阐述高等几何中有关配极和共轭的概念、结果和体系;②高等几何中有关配极和共轭的哪些结果已在高考中出现？哪些结果适合高考？哪些结果还将在高考中出现？由此出发,进行全方位的考量和深入研究,着意构造高考母题;③高等几何中哪些解题技巧、方法和思想可移植到中学数学中？其中我们重点关心的是哪些方法能成为解决一类高考试题的“母法”？总之,我们的目标是:利用高等几何的理论指导,探索高考解析几何试题的解题、命题方法.构建全新的解析几何母题的“母系系统”.