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新 知 杯 模 拟 试 题
填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)
对于任意实数,定义=,已知,则实数的值是_________。
在三角形ABC中,是大于1的整数,则 。
一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
已知关于的方程有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。
如图,直角三角形中,,为斜边上一动点。,,则线段长的最小值为 。
设是方程的两个根,是方程的两个根,则
的值为 。
在平面直角坐标系中有两点,,函数的图像与线段延长线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。
方程的所有整数解有 组。
如图,四边形中,,。设延长线交于,则_________________.
如图,在直角梯形中,,,点在上,使得是正三角形,则与的面积和是________________。
二、(本题15分)如图,中,,点在上,使得 并且求的长。
三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数:,其中数字可以是0。
四、(本题15分)正整数满足以下条件:任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的。
五、(本题15分)若两个实数使得都是有理数,称数对是和谐的。
试找出一对无理数,使得是和谐的;
证明:若是和谐的,且是不等于1的有理数,则都是有理数;
证明:若是和谐的,且是有理数,则都是有理数。
新知杯模拟试题(参考答案)
一、填空题(第1-5小题每题8分,第6-10题每题10分,共90分)
对于任意实数,定义=,已知,则实数的值是_________。
【答案】4或
【解析】,,,,所以或
在三角形ABC中,是大于1的整数,则 。
【答案】0
【解析1】若,即矛盾
若,则,即矛盾,
【解析2】是大于1的整数,所以,此时,,即,
,即,,即
一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形,它的周长可能是 。
【答案】50,94
【解析】设两边长分别为和,则,,所以周长为或
已知关于的方程有实根,并且所有实根的乘积为-2,则所有实根的平方和为 。
【答案】5
【解析】原方程可化为,,,,即
如图,直角三角形中,,为斜边上一动点。,,则线段长的最小值为 。
【答案】
【解析】设,,则,所以,,,当,时,最小。
设是方程的两个根,是方程的两个根,则
的值为 。
【答案】2772
【解析】,,,,
在平面直角坐标系中有两点,,函数的图像与线段延长线相交(交点不包括),则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】,
方程的所有整数解有 组。
【答案】72
【解析】
正整数解6+3+3+6=18组,非正整数解18×3=54组,共72组
如图,四边形中,,。设延长线交于,则_________________.
【答案】21
【解析】作∥,∥,易知,四边形为平行四边形,,,是等边三角形,即为等腰三角形,,
如图,在直角梯形中,,,点在上,使得是正三角形,则与的面积和是________________。
【答案】
【解析】将图补成正方形,易知≌,令,则,由勾股定理得,解得,
二、(本题15分)如图,中,,点在上,使得 并且求的长。
【答案】。
【解析】设,则作的平分线交于点,BE,则∽,所以,由角平分线定理可知,因此解得。
三、(本题15分)求所有满足下列条件的四位数:,其中数字可以是0。
【答案】
【解析】设,,则由题意得,即,因为为整数,,,,且在100内11的倍数只有9个,经验证,时,,时,,解得,,,因此,
四、(本题15分)正整数满足以下条件:任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中,至少有一个素数,求最小的。
【解析】由于这14个合数都小于2009且两两互质,因此。而n=15时,我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子则必有一个素数不失一般性,设由于是合数的最小素因子,因此矛盾。所以,任意15个大于1且不超过2009的互质整数中至少有一个素数。综上所述,n最小是15。
五、(本题15分)若两个实数使得都是有理数,称数对是和谐的。
试找出一对无理数,使得是和谐的;
证明:若是和谐的,且是不等于1的有理数,则都是有理数;
证明:若是和谐的,且是有理数,则都是有理数。
【解析】
不难验证是和谐的。
由已知是有理数,是有理数,所以,解得是有理数,所以也是有理数。
若,则是有理数,因此也是有理数。若,由已知是有理数,也是有理数,因此,故是有理数,因此也是有理数。
2013上海市初中数学竞赛(新知杯)
(2013年12月8日
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