求数列通项公式常用方法（答案）.doc

资料 . 求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．解题步骤：若， 则 两边分别相加得 例1 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 练习. 已知数列满足，，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 评注：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. = 1 \* GB3 ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; = 2 \* GB3 ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; = 3 \* GB3 ③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; = 4 \* GB3 ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 2．解题步骤：若，则 两边分别相乘得， 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 练习. 已知,求数列{an}的通项公式 答案：-1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式. 三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 1．形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 解题步骤：设，得，与题设比较系数得，所以 ，所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列， 所以 即：. 例3 已知数列中，，求数列的通项公式。 解： 又是首项为2，公比为2的等比数列 ，即 练习．已知数列中，求通项 答案： 2．形如： (其中q是常数，且n0,1) = 1 \* GB3 ①若p=1时，即：，累加即可. = 2 \* GB3 ②若时，即：， 求通项方法有以下三种方向： = 1 \* roman i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列 即： ,令，则，然后累加求通项. = 2 \* roman ii. 两边同除以， 目的是把所求数列构造成等差数列。 即： , 令，则可化为，然后转化为待定系数法第一种情况来解。 = 3 \* roman iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列 设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 解法一（待定系数法）：设，比较系数得， 则数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，即 解法二（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略 3．形如 (其中k,b是常数，且) 待定系数法解题步骤： 通过凑配可转化为 ； 比较系数求x、y；解得数列的通项公式；得数列的通项公式。 例5 . 在数列中，,求通项.（待定系数法） 解：原递推式可化为 比较系数可得：x=-6，y=9,上式即为 所以是一个等比数列，首项，公比为。 即： ， 故。 练习 在数列中，求通项.（逐项相减法） 解：， = 1 \* GB3 ① 时，， 两式相减得 .令，则 知 即 = 2 \* GB3 ② 再由累加法可得. 亦可联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②解出. 4．形如 (其中a,b,c是常数，且) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 例6 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得， 所以 由，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 5.形如时将作为求解 分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。 例7 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同） 则，则是首项为4，公比为3的等比数列 ，所以 练习.数列中，若,且满足,求. 答案： . 四、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法 不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点或称为函数的不动点。 分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，再变形求解。