第6讲数列的综合问题.docVIP

PAGE 用心 爱心 专心 第6讲 数列的综合问题 ★ 知 识 梳理 ★ 1.等差数列的补充性质 ⑴若有最大值，可由不等式组来确定； ⑵若有最小值，可由不等式组来确定. 2.若干个数成等差、等比数列的设法 ⑴三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：. ⑵三个数成等比的设法：；四个数成等比的设法：. 3.用函数的观点理解等差、等比数列 ⑴等差数列中，， 当时，是递增数列，是的一次函数； 当时，是常数列，是的常数函数； 当时，是递减数列，是的一次函数. ⑵等比数列中，， 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，是一个常数列；当时，是一个摆动数列. 4.解答数列综合问题的注意事项 ⑴ 认真审题、展开联想、沟通联系； ⑵ 将实际应用问题转化为数学问题； ⑶ 将数列与其它知识（如函数、方程、不等式、解几、三角等）联系起来. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：掌握常见数列应用问题的解法；掌握数列与其它知识的综合应用. 2.难点：如何将实际应用问题转化为数学问题，综合运用所学知识解决数列问题. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 数列的综合应用 题型1 等差、等比数列的综合应用 【例1】已知等差数列与等比数列中，，求的通项. 【解题思路】由等比数列知：成等比，从而找出的关系. 【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 是等比数列，成等比，则 ，解得 或. 当时， ，， ； 当时，，， . 【名师指引】综合运用等差、等比数列的有关公式和性质是解决等差、等比数列综合问题的关键. 【例2】已知为数列的前项和，，. ⑴设数列中，，求证：是等比数列； ⑵设数列中，，求证：是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和. 【解题思路】由于和中的项与中的项有关，且，可利用、的关系作为切入点. 【解析】⑴，，两式相减，得 ， 又，，由，，得 ，是等比数列，. ⑵由⑴知，，且 是等差数列，. ⑶，且， 当时，， ， 【名师指引】⑴等差、等比数列的证明方法主要有定义法、中项法；⑵将“”化归为 是解题的关键. 题型2 数列与函数、方程、不等式的综合应用 【例3】（2008韶关模拟）设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有． ⑴求，判断并证明函数的单调性； ⑵数列满足,且 ①求通项公式； ②当时，不等式对不小于的正整 数恒成立，求的取值范围. 【解题思路】从已知得到递推关系式，再由等差数列的定义入手；恒成立问题转化为左边的最小值. 【解析】⑴，在上减函数（解法略） ⑵ ① 由单调性 ，故等差数列 ② 是递增数列 当时， ， 即 而，∴，故的取值范围是 【名师指引】数列与函数、方程、不等式的综合问题，要注意将其分解为数学分支中的问题来解决. 题型3 数列的应用问题 【例4】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少? 【解题思路】本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和. 【解析】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程: . 由于,当时,有最小值. 答: 将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短. 【名师指引】本例题是等差数列应用问题. 应用等差数列前项和的公式，求和后，利用二次函数求最短距离时，要特别注意自变量的取值范围. 【例5】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,… 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 【解题思路】建立上层到底层砖块数与的关系式是关键，应分清它是等差，还是数列等比数列. 【解析】设从上层到底层砖块数分别为,则, 易得,即 因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则 (块) 答:共用2046块. 【名师指引】建立与的关系式后，转化为求数列通项的问题. 【例6】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的％，从2003年开始,计划每年将非绿化面积的 8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为,经过年后绿化的面积为,试用表示 ； ⑵求数列的第项； ⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据:) 【解题思路】当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积. 【解析】⑴设现有非绿化面积为,经过年后非绿化面积为. 于是.依题意,是由两部分组成,一部分是