第八节 多元函数的极值及其求法.ppt

例8. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 最省, 例9. 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 例9. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电 电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于 平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系: 其中M是最大市场需求量, a是价格系数. 又据对生产环节 的分析, 预测每台电视机的生产成本满足: 其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数. 问应如何 确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？ 解: 生产x台获得利润 ① ② 问题化为在条件①, ②下求 的最大值点. ① ② 作拉格朗日函数 令 ③ ④ ⑤ 将①代入④得 由⑤得 将以上结果及①, ②代入③, 得 解得 因问题本身最优价格必定存在, 故此 p* 即为所求. 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . P121 3, 4, 8, 9, 10 习题课 作业(4-9) P121 11, 13, P134 18, 19, 20 作业(4-11) 注 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注 则 注 因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. 若?ABC 位于半圆内(如图) , 则其BC 边上的高 小于?A1BC 同边上的高, 故前者的面积小于后者， 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 目标函数 : 约束条件 : 答案: 即四边形内接于圆时面积最大 . 2. 求平面上以 30 * 参考教材P162 * 秩为m, 想说明什么意思? * 理有三种,…… * 可以参考教材,但不习惯教材的写法 * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 (极小值). 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研) 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点(稳定点) . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有 时, 具有极值 具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值.