§5.2-线性微分方程组的一般理论.ppt

* * (5.29) (5.31) 常数变易公式 证明: 由(NH′)的与(NH)的等价性, 只需计算出(NH)的特解的第一行, 便可得到(NH′)的一个特解. * 解： 由(5.31)得 * 习题5.2：4. 5. 6. 作业： * 上页 下页 返回 §5.2 线性微分方程组的一般理论 5.2.1 齐线性方程组 5.2.2 非齐线性方程组 * (5.15)称为对应于(5.14)的齐次线性方程组 (5.14)称为非齐次线性方程组 (5.15) Nonhomogeneous Homogeneous * 5.2.1 齐线性微分方程组 (5.15) 考虑 定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间. * 什么是线性空间？ 定义 设V 是一个非空集合,F 是一个数域. 对于V 中任意两个元素α，β，在 V 中总有唯一确定的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为γ = α+ β。对于数域 F 中任一数k与V 中任一个元素α，在 V 中都有唯一确定的一个元素δ与它们对应，称为 与α的数量乘积，记为δ = k α。如果加法与数量乘法满足下面规律： 对V中任意的α，β，γ V 和F中的任意的 k ，l ， (1) α+β=β+α; (2) (α+β)+γ=α+(β+γ); (3) 在V 中存在零元素 0 ，对于V 中任一元素α都有α +0= α； * (4) 对V 中任意元素α，在 V 中都有α的负元素β ，使α+ β=0 ； 1 α= α； (6) k( lα)=( kl)α; (7) (k + l)α= kα + lα; (8) k(α+β)= kα+ k β. 那么，V 称为数域F 上的线性空间（或向量空间）， V 中的元素，不论其本来性质如何，都称为向量。 数域：设F是复数集的子集。若F中包含0与1，并且F中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在F中，就称F为一个数域。 线性空间的维数：最多的线性无关向量的个数 * 5.2.1 齐线性微分方程组 (5.15) 考虑 定理2说明,(5.15)的所有解的集合构成一个线性空间. 问题：此空间维数是多少 ？ * 例如 线性无关 线性相关 * * 证明 (略) c1, …, c n 是非零解。反之不成立。如：(1,0,0)T, (t,1,0)T, (t2,t,0)T * * * * 通解 * * * * 注1：由定2*得, 解矩阵的行列式或恒为零或恒不为零的结 果只适用齐次ODEs给出的解矩阵。一般函数矩阵没有这 样的性质，更不能用此来判断向量函数是否线性相关。 * 由定理1*得, 初值问题 的解为 * 解 * 5.2.2 非齐线性方程组 (5.14) 考虑 * * 常用方法之一——常数变易法 假设(5.14)有解形如 这里，c(t)是待定的向量函数 (5.24) 将(5.24)代入(5.14)得 (5.26) Method of variation of constant * 由定理7、8得, 初值问题 的解为 (5.27) 常数变易公式 * 解： 由例1知, 对应齐线性方程组的基解矩阵为 * 代入常数变易公式，得 * 考虑 n阶非齐线性方程 及其对应的 n阶齐线性方程 则(NH′)及(LH′)分别等价于下列 n 阶线性方程组： n阶线性方程的常数变易公式 * 以及 * 记 则方程组可记为 以及 * 上页 下页 返回 *