第十二章 分离变量法.ppt

第十二章 分离变量法 前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法． 第十二章 分离变量法 着重掌握在柱、球坐标系中对 和 分离变量会得到哪些特殊函数微分方程 12.1 分离变量理论 对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程 通过适当的自变量变换转化为下列标准形式： (12.1.2) 假设 （12.1.2）的解有下列分离的形式 其中 1. 常系数偏微分方程 要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为 ，从而得到两个常微分方程 上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为 由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离 需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的 函数才能实施变量分离． 第一类边界条件 第二类边界条件 假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界 条件为齐次的： 12.2直角坐标系中的分离变量法 12.2.1 分离变量法介绍 定解问题的泛定方程变为 本征值 不能任意取，只能根据边界条件（12.2.7）取某些特定值。 本征函数 不同 （12.2.5）所对应的解 本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题 （12.2.5）的解为 解出 只剩下一种可能性： 第三步：先求特解，再叠加求出通解 这就是满足(12.2.1)和条件（12.2.2）的通解 至此，定解问题（12.2.1）-(12.2.3)的解已经求出 12.2.2. 解的物理意义 点数为2，3，4的驻波形状 （成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的． 所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相 中最小的一个 称为基频， 2. 三维形式的直角坐标分离变量 具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形 从前面讨论的例子容易看出，分离变量的本征值通常是正数， 所以在上式中我们采用实数的平方形式来表示．得 上式即为亥姆霍兹方程． 又可以表成如下分离形式： 分离常数时，上述等式才成立，于是，得到 其中 　　方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合．若是有限区域的情形，这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件，即构成本征值问题．在这种情况下，这些分离的常数 　应是一系列离散值（例如它们分别与一系列整数关），这些离散值即本征值；与此相应的解即本征函数，而时间部分的解为 12.2.3直角坐标系分离变量例题分析 　　　上面我们已经研究的例题12.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例题12.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题12.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别． 【解】用分离变量法求解. 令 代入（12.2.17），(12.2.18)，得本征值问题 及 待定常数和由边界条件（12.2.23）确定，即有 只能得到无意义的解 ，应该排出． (2) 若  由（12.2.23）得 注意到 可以是任意常数．条件 系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是归一化的 . 由 系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为 例12.2.3 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题： 鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心是两端自 【解】按照分离变量法的步骤，先以变量分离形式的试探解 代入（12.2.28），(12.2.29)得 求解（12.2.34）～（12.2.35）本征值问题，对 (1) 若 代入（7）得到 故可取归一化的本征函数 由于 ，所以 于是 相应的（归一化的）本征函数是 从上面的讨论我们可以将本征值 和对应的本征函数统一为 其对应的解为 其中 注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族． 所有本征振动的叠加得到通解 把右边的函数 后比较两边的系数，得到 例12.2．4 求边长分别为的长方体中的温度分布， 设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 (1) 时空变量的分离： (2) 空间变量的分离 ： 同时， 满足 和 (3) 求本征值问题 把（12.2.43）、（12.2.44）、（12.2.45）式的本征值相加， （12.2.46） (4) 求解关于 (5) 将所有的常微分方程的解叠加起来，代入初值有 14．3 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 其中， 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度