同济第六版《高等数学》教案WORD版-第10章 曲线积分与曲面积分.docVIP

高等数学教案 §10曲线积分与曲面积分 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十章 曲线积分与曲面积分 教学目的： 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 掌握计算两类曲线积分的方法。 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 知道散度与旋度的概念，并会计算。 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点: 两类曲线积分的计算方法； 格林公式及其应用； 两类曲面积分的计算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点： 两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系； 对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 应用高斯公式计算对坐标的曲面积分； 应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 §10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量? 设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上? 已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为?(x, y). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段, ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn(?si也表示弧长); 任取(xi , hi)??si, 得第i小段质量的近似值?(xi , hi)?si; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}?0, 则整个物质曲线的质量为 . 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, ? ? ?, Mn?1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为?si, 又(xi, hi)为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f(xi, hi)?si, (i=1, 2,? ? ?, n ), 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值l?0, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即. 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: ?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn, 并用?si表示第i段的弧长; 在每一弧段?si上任取一点(xi, hi), 作和; 令l=max{?s1, ?s2, ? ? ?, ?sn}, 如果当l?0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即 . 其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 曲线积分的存在性: 当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中?(x, y)为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: . 如果L(或?)是分段光滑的? 则规定函数在L(或?)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和? 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 . 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 . 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数? 则 ; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2? 则 ? 性质3设在L上f(x? y)?g(x? y)? 则 ? 特别地? 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义? 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y)? 则曲线形构件L的质量为 . 另一方面, 若曲线L的参数方程为 x?j(t), y?y (t) (a?t?b), 则质量元素为