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第19讲 勾股定理 考点·方法·破译 1．会用勾股定理解决简单问题. 2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形. 3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证. 经典·考题·赏析 【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( ) A．13 B．26 C．47 D．94 【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C． 【变式题组】 第3题图ACBl1l2l3第2题图lA1DCB2第1题图01 第3题图 A C B l1 l2 l3 第2题图 l A 1 D C B 2 第1题图 02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______. BA3cm1cm6cm03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l B A 3cm 1cm 6cm A． B． C． D．7 【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm. 【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，. 【变式题组】 01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( ) 第2题图AB吸管1065A． B．25 C． 第2题图 A B 吸管 10 6 5 B B 5 10 15 A 20 C 第1题图 A A D B E C F M N 02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，参考数据:＝1．4，＝1．7:＝2．2) 03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计) 【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故选C 【变式题组】 ABCD01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S A B C D 02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC． 03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC． 【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C坐标. AOByx A O B y x y＝－2x 若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与y＝－2x的交点处. 若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心， AO的长为半径的圆与y＝－2x的交点处. 若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处. AyxDOC【解】⑴若以O为顶点，OA为腰，如图设C(t，－2t) A y x D O C OC2＝OD2＋CD2 4＝t2＋(－2t)2 5t2＝4 t＝ OCyxE∴C1(，），C2(，） O C y x E ⑵若以A为顶点，A