二次函数的图象与系数的关系(公开课).ppt

二次函数y =ax2+bx+c的图象与系数a, b, c的关系 回顾知识点： 1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？ 3、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 . 5、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 . (0,c) a 2、抛物线y=ax2+bx+c的开口大小与什么有关？ │a│ 4、抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标是 . 1.a的符号 当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。 |a|越大，抛物线的开口越小；|a|相同，抛物线的开口大小相同 开口大小一样，即抛物线的形状一样。 探索发现 抛物线开口向上 抛物线开口向下 a0 a0 2. b的符号 由于对称轴是x= －b/2a; a,b共同决定对称轴的位置. x= －b/2a x= －b/2a 左同右异 对称轴在y轴左侧 ab＞0 a、b 同号 对称轴在y轴右侧 ab＜0 a、b 异号 3.c的符号 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c) C＞0 交点在y轴正半轴 C=0 抛物线过原点 C＜0 交点在y轴负半轴 4.?=b2－4ac决定抛物线与y轴交点的个数 抛物线与x轴的交点纵坐标为0，所以由令y=0得 ax2+bx+c=0, 方程解的个数显示抛物线与x 轴交点的个数。 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴有一个交点 抛物线与x轴无交点 5.抛物线与x轴有两个交点，两个交点间的距离为 d=∣x1－x2∣ (x1 ,0) (x2 ,0) (x1 ,0) (x1 ,0) (x2 ,0) (x2 ,0) 由交点横坐标还可以得到抛物线的 抛物线的 思考：若A ，B ,在抛物线上，且关于对称轴对称 (x1 ,a) (x2 ,a) (x1 ,a) (x2 ,a) A B 则对称轴与A,B两点的横坐标有怎样的关系？ 二次函数关于轴对称的规律是什么? 对于顶点式： 2 ①y=a(x-h) +k与y=a(x+h) +k两图像关于y轴对称,即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称,横坐标相反,纵坐标相同. 2 ②y=a(x-h) +k与y=-a(x-h) -k两图像关于x轴对称,即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称,横坐标相同,纵坐标相反. 2 2 ③y=a(x-h) +k与y=-a(x-h) +k关于顶点对称,即顶点（h,k）和（h,k）相同,开口方向相反. 2 2 ④y=a(x-h) +k与y=-a(x+h) -k关于原点对称,即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称,横坐标相反,纵坐标相反. 2 2 对于一般式： ①y=ax +bx+c与y=ax -bx+c两图像关于y轴对称 2 2 2 2 ②y=ax +bx+c与y=-ax -bx-c两图像关于x轴对称 2 　③y=ax +bx+c与y=-ax +bx-c关于原点对称. 2 关于y轴对称。 关于x轴对称。 关于顶点对称。 关于原点对称。 关于y轴对称。 关于x轴对称。 关于原点对称。 小结 拓展 抛物线y=ax2+bx+c的系数的符号由抛物线的位置决定。它们具有等价的关系。 （1）a的符号决定抛物线的开口方向。 开口向上 a0 开口向下 a0 (2) a, b共同决定对称轴的位置。 对称轴在y轴左侧 a, b同号 对称轴是y轴 b=0 对称轴在y轴右侧 a, b异号 (3 )c决定抛物线与y轴交点的位置。 交点在y轴正半轴上 c0 交点是原点 c=0 交点在y轴负半轴上 c0 (4)b2-4ac决定抛物线与x 轴交点的个数。 抛物线与x轴 有两个交点 b2-4ac0 抛物线与x轴 有1个交点 b2-4ac=0 抛物线与x轴 无交点 b2-4ac0 (5)a+ b+ c的符号 由x=1时抛物线上的点(1,a+b+c )所在象限位置确定。 （6）a- b+ c的符号 由x=-1时抛物线上的点（1,a+b+c）所在象限位置确定。 （7）b2-4ac的符号 拓展 你会判断4a+2b+c,9a+3b+c的符号吗? 已知，y=ax2+bx+c的图象如下， 试判断a,b,c, b2－4ac,a+b+c,a-b+c的符号。 例题学习 解： ∵开口向上 ∴a0 抛物线与y轴交于负半轴 ∴c0 0,而a0 ∴b0 由图象可知抛物线与x轴有两个交点 ∴b2-4ac0 y ． -1 x · 1 当x=1时，y=a +b+ c 由图象可知，点（1，a+ b+ c）在第四象限 a+ b+ c0 又x=-1时