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二项式定理的练习及答案
二项式定理的练习及答案
基础知识训练
(一)选择题
1.展开式中常数项是( )
A.第4项 B. C. D.2
2.(x-1)11展开式中x的偶次项系数之和是( )
A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.1024
3.展开式中有理项的项数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.若与同时有最大值,则m等于( )
A.4或5 B.5或6 C.3或4 D.5
5.设(2x-3)4=,则a0+a1+a2+a3的值为( )
A.1 B.16 C.-15 D.15
6.展开式中的中间两项为( )
A. B.C. D.
(二)填空题
7.在展开式中,x5y2的系数是
8.
9. 的展开式中的有理项是展开式的第 项
10.(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是
11.展开式中系数最大的项是
12.0.9915精确到0.01的近似值是
(三)解答题
13.求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
14.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
15.已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3,求x的取值范围
16.若展开式中,x的系数为21,问m、n为何值时,x2的系数最小?
17.自然数n为偶数时,求证:
18.求被9除的余数
19.已知的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项
20.在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数
21.求(2x+1)12展开式中系数最大的项
参考解答:
1.通项,由,常数项是,选(B)
2.设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是,选(C)
3.通项,当r=0,2,4,6时,均为有理项,故有理项的项数为4个,选(A)
4.要使最大,因为17为奇数,则或或n=9,若n=8,要使最大,则m==4,若n=9,要使最大,则或或m=5,综上知,m=4或m=5,故选(A)
5.C 6.C 7.; 8.4n; 9.3,9,15,21
10.(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和,故令x=1,则所求和为35
11.(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数,系数最大的项是T16=.
12.0.9915=(1-0.009)5=
13.,要得到含x4的项,必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项作积,第一个因式中的-x3与(1-x)9展开式中的项作积,故x4的系数是
14.=,原式中x3实为这分子中的x4,则所求系数为
15.由
16.由条件得m+n=21,x2的项为,则因n∈N,故当n=10或11时上式有最小值,也就是m=11和n=10,或m=10和n=11时,x2的系数最小
17.原式=
18. ,
∵k∈Z,∴9k-1∈Z,∴被9除余8
19.依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项,又
令,此所求常数项为180
20.
在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为
∴展开式中含x的项为 ,此展开式中x的系数为240
21.设Tr+1的系数最大,则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数,即有
∴展开式中系数最大项为第5项,T5=
三.拓展性例题分析
例1 在二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中所有有理项.
分析:本题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决.
解:二项式的展开式的通项公式为:
前三项的
得系数为:,
由已知:,
∴
通项公式为
为有理项,故是4的倍数,
∴
依次得到有理项为.
说明:本题通过抓特定项满足的条件,利用通项公式求出了r的取值,得到了有理项.类似地,的展开式中有多少项是有理项?可以通过抓通项中r的取值,得到共有17页
系数和为.
例2 (1)求展开式中的系数;(2)求展开式中的常数项.
分析:本题的两小题都不是二项式展开,但可以转化为二项式展开的问题,(1)可以视为两个二项展开式相乘;(2)可以经过代数式变形转化为二项式.
解:(1)展开式中的可以看成下列几种方式得到,然后合并同类项:
用展开式中的常数项乘以展开式中的项,可以得到;用展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到;
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