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空间解析几何与向量代数(习题课) 题组一： 向量及其运算 （4） （5） 2. 证明 (2) (3) 3. 设 解 (2) : 解 (3) : 4. 设 5. 设 6. 设 (2) 当 8. 用向量证明: 题组二： 空间平面与直线 2. 求过直线 3. 设有一平面, 4. 一直线过点 P(-3,5,-9) 且和两直线 5. 过平面π: 6. 在一切过直线 接6. 题组三： 空间曲面与曲线 接1. 2. 设空间曲线 3. 求锥面 接3. 接3-2 接3-3 4. 求直线 5. 柱面的准线为 接5. 1. 是非题 （1）若 （2）若 （3） 方向 （6） 解 : 因为 所以三向量 构成一三角形， 因此三向量共面， 故混合积为零。 证明: （1） 证明: 证明(3): （1）试证 （2）沿 （3）求 解(1) : 则 即 解方程组得 解: 均为非零向量，且 求 由题设可知: 三向量 两两垂直. 所以 解: 求 的夹角. ( P50 ) 解: 7. 已知 ，， (1) 证明 解: O A B 结论成立 的夹角为何值时, △OAB的面积取最大值. 解: △OAB的面积取最大值. △OAB的面积取最大值. 三角形 的三条高交于一点. 证明: 作三角形如图. A B C 其中两条高BE和CF E F G 要证过G点的AD D 垂直于BC. 交于点G, 1. 设平面π过点 P (2,3,-5) 且与已知平面 x-y+z=1垂直, 又与直线 平行, 求平面π的方程. 解: 设平面π的法向量为 则 平面π的方程为 与点 P(2,0,-1) 的平面方程. 解: 设所求平面方程为 将点 P(2,0,-1) 代入上式得 所以所求平面方程为 即 它与 x o y 面的交线是 且与三个坐标面围成的四面体的体积等于2, 求该平面 方程. 解: 设平面方程为: 则其与xoy面的 平面方程为: 交线为: ， 相交, 求此直线方程. 解: 作图如右. L L1 L2 分别求出两已知直线上的点M1、M2 , 设所求直线方向向量为 则 由此得直线的点向式方程为： L 解: 和直线 的交点, 求在已知平面上, 垂直于已知直线的直线方程. π L1 A 只要求出过点A且和L1垂直的平面π1的方程即可. 直线方程为 的平面中求一 平面, 使原点到它的距离为最大. 解: 设过L的平面束方程为: 即 时,距离最大. 平面方程为: 即 解: 1. 讨论平面 与曲面 间相互 位置关系. 这是球心为(4,-1,3)半径为2的球面. 整理得 对于平面 相离 相切 相交 解: 试将曲线Γ 的方程用母线平行于 x 轴和 y 轴的两个投影柱面的 方程表示. 消去 得 同理可得 因此 与柱面 所围立体在三个坐标平面上的投影区域. 解: 锥面 与柱面 所围立体如图所示. x y z o 两曲面所围立体如图. x y z o (1) 在 xoy 面上的投影区域为 两曲面交线 在 xoy 面上的投影 所围区域. 因此所围立体在xoy面上的投影区域为 x y o x y z o (2) 在 xoz 面上, 立体由母线垂直于 xoz 面的柱面 与两个 曲面 围成. 两曲面的交线xoz 面上的投影为 即 柱面与两曲面的交线在xoz面上的投影是 故立体在xoz面上的投影区域是 x z o