不尽的探索无穷的乐趣77744.doc

不尽的探索无穷的乐趣 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞 引例如图1,在ZUBC中，ZABC. ZACB的平分线相交于点0,试判断ZB0C与Z 4的关系？说明你的理rfl. 解:ZBOC=90°+2 ZA. 理由：?.?30平分ZA3C, C0平分ZACB, 2 ???Z1=【ZABC, Z2= j ZACB. J. .*.Z1+Z2= 2 (Z4BC+ZACB). 在ZWC 中，ZABC+ ZACB= 180°-ZA. 2 2 .?.Zl + Z2= j (180°-Z/l)=90o- 2 ZA. 在△BOC 屮，ZBOC=180°-(Z1 + Z2) i 2 =18()°-(90°- 2 ZA)=90°+ 2 ZA? 由此我们得到这样一个结论： 结论1：三角形两内角平分线的夹角等于笫三个内角的一半的余角的补角. 如果把题目中的内角平分线，改为外角的平分线，那么ZBOC与乙4的关系又如何呢? 探索一：如图2, △ABC的外角ZC3M、ZBCN的平分线相交于点0,试判断ZB0C 与ZA的关系？说明你的理由. J. 解：ZBOC=90°- 2 ZA ? 理由：TBO平分ZCBM, C0平分ZBCN, 2 ：.Zl= j A CBM. Z2= ZBCN. 1 .?.Zl+Z2= J (ZCBM+ZBCW). ?.? ZCBM=180°-ZABC, ZBCN=1SO°~ZACBf :.A CBM + ZBC/V=360°- (ZABC+ ZA CB) =360°- (180°- ZA) = 180°+ ZA. .*.Z1 + Z2=2 (180°+ZA)=90°+ J ZA. 在△BOC 中，ZBOC=180°-(Z1 + Z2) 2 =180°-(90°+ 2 ZA)=90°- 2 ZA. 说明：在计算ZCBM+ZBCN时，也可利用三角形的外角性质，即ZCBM=ZA+ZACBf ZBCN=ZA+ZABC,所以ZCBM+ZBCN二(ZA+ZACB+ZABC)+ ZA=18(r+ZA. 为了利用结论1，本题也nJ以这样说明理由： 如图3,分别作ZABC和ZACB的平分线BP和CP, BP和CP相交于点P,根据“一 对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们口己探索)，可得Z PBO=90G, Z PC0=90°.又四边形 PBOC 的内角和等于 360°,所以ZBOC=360°-90°-90°-ZBPC= 180°- ZBPC. 图3 J. 利用结论1,可得ZBPC=90°+ 2 ZA. 2 2 所以 ZBOC= 180°-(90°+ 2 ZA)=90°- J Z4. 由此我们得到这样一个结论: 结论2：三角形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角. 以上分别是两内角平分线与两外角平分线和交的情况，如果是一内角的平分线与一外角 的平分线相交，结果又会如何呢？ 探索二：如图4,在△ABC中，内角ZABC的平分线与外角ZACD的平分线相交于点 O,试说明ZBOC与ZA的关系？说明你的理由. 解：ZBOC= J ZA. 理山：TBO平分ZABC, CO平分Z4CD, ZABC=2Z\f ZACD=2Z2. 乂Z2是△BOC的外介， ???Z2二Zl + ZBOC,即ZBOC=Z2-Z1. 乂ZACD是AABC的外介， ??.ZACD=ZABC+Z4,即ZA=ZACD-ZABC. ZA=2 Z 2-2 Z1 =2 (Z 2- Z1) =2 ZBOC. 1 ??? ZBOC= 2 ZA. 为了利用结论1，本题也町以这样说明理由: 1 如图5,作ZACB的平分线CP交30于点P,利用结论1可知ZBPC=9(T+2 Z4.根 据“-?対邻补侑的平分线互相垂直”可知ZPCO=90。. 乂ZBPC是SCO的外角，所以Z BPC=ZBOC+ZBPC,即 90°+ 2 ZA=ZBOC+90°. ZBOC= 2 ZA. B 为了利用结论2,本题也可以作AABC的外角平分线与CO的反向延长线相交于点P（如 图6）,易证CP是AABC的外角ZBCE的平分线，根据“一对邻补角的平分线互相垂直” 2 可知 ZPBO=90。.又由结论 2 可知 ZBPC=90。- 2 ZA,所以 Z 30C= 180。-ZPBO-Z 2 2 BPC=180°-90°-(90°- 2 ZA)= 2 ZA. 图6 图6 同学们，阅读此文，你是否冇一种沉浸在不尽的探索和喜悦Z中，在探索的过程中，我 们又利用探索出来的结论（或者叫做我们的小发明或小创造吧）去探索新的结论，你是否有一 种小小的成就感呢？ 有人算过这样一笔帐，一只蜜蜂要酿出一公斤蜂蜜，需要来回飞行大约三十万公里， 吸吮大约一千二百万个花朵的液汁.每次采集回来，述需要把液汁从胃里吐出来，由另一只 蜜蜂吸