不尽的探索无穷的乐趣78842.doc

不尽的探索 无穷的乐趣 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞 引例如图1,在△ABC屮，ZABC. ZACB的平分线相交于点0,试判断ZB0C与Z A的关系？说明你的理由. 解：ZBOC=90°+ 2 ZA. 理山：TBO平分Z4BC, C0平分ZACB, 2 A Zl= 2 A ABC, Z2= j ZACB. 1 AZ1 + Z2= j (ZABC+ZACB). 在 A4BC 中，ZABC+ ZACB= 180°- ZA. 2 2 AZ1+Z2= j (180°-ZA)=90°- 2 ZA. 在厶BOC 中，ZBOC=180°-(Z1 + Z2) j 2 = 180°-(90°- 2 ZA)=90°+ j ZA? 由此我们得到这样一个结论： 结论1：三角形两内角平分线的夹角等于第三个内角的一半的余角的补角. 如果把题口中的内角平分线，改为外角的平分线，那么ZBOC与ZA的关系乂如何呢? 探索一：如图2, ABC的外角ZCBM、ZBCN的平分线相交于点0,试判断ZB0C 与ZA的关系？说明你的理由. 2 解：ZBOC=90°- 2 ZA ? 理由：???30平分ZCBM, C0平分ZBCN, } \ A Zl= 2 ZCBM, Z2= ZBCN. 2 A Zl + Z2= 2 (ZCBM+ZBCN). ??? ZCBA/=180°-ZA5C, Z^C^=I8O°-ZACB, ??? Z CBM 4- ZBCN=360°~ (ZABC+ ZACB) =360°-仃 80°- ZA) =180°+ ZA. \ 2 .\Z1 + Z2=2 (180°+ZA)=90°+ J ZA. 在厶BOC 中，ZBOC=180°-(Z1+Z2) J 2 = 180°-(90°+ 2 ZA)=90。一 2 ZA. 说明：在计算ZCBM+ZBCN时，也可利用三介形的外角性质，即ZCBM=ZA+ZACBf ZBCN= ZA+ZABC,所以 ZCBM + ZBCN= (ZA+ZACB+ ZABC) + ZA=180°+ ZA. 为了利用结论1,本题也可以这样说明理由： 如图3,分别作ZABC和ZACB的平分线肿和CP, BP和CP相交于点P,根据“一 对邻补角的平分线互相垂直”(此结论留给同学们自己探索)，可得Z PBO=90。, Z PCO=90。.又四边形 PBOC 的内角和等于 360°,所以ZBOC=360o-90o-90o-ZBPC=180°- ZBPC. 图3 利用结论1,可得ZBPC=90°+ 2 ZA. j. 2 所以ZB(9C=180°-(90°+ 2 ZA)=90°- J ZA. 山此我们得到这样一个结论: 结论2：三几形两外角平分线的夹角等于与这两外角不相邻的内角的一半的余角. 以上分别是两内角平分线与两外侑平分线相交的情况,如果是一内角的平分线与一?外角 的平分线相交，结果乂会如何呢？ 探索二 如图4,在AABC屮，内/fjZABC的平分线与外^ZACD的平分线相交于点 O,试说明ZBOC与ZA的关系？说明你的理由. 解：ZBOC= J ZA. 理由：?.?B0平分ZABC, CO平分ZACDf :.ZABC=2Zlf ZACD=2Z2. 又Z2是/XBOC的外角， ???Z2=Z1 + ZBOC,即ZBOC=Z2-Z1. XZACD是△ ABC的外侑， ??? ZACD= ZABC + ZA,即 ZA= ZACD -ZABC. ??? ZA=2 Z2-2 Z1 =2 (Z2- Z1) =2 ZBOC. 2 :.ZBOC二 2 ZA. 为了利用结论1,本题也町以这样说明理rtn 如图5,作ZACB的平分线CP交BO于点P,利用结论1可知ZBPC=90o+二ZA.根 据“一对邻补角的平分线互相垂直”可知ZPCO=90。.又ZBPC是SCO的外角，所以Z 2 BPC=ZBOC+ZBPC, #卩 90°+ 2 ZA二ZBOC+90。. .I ZBOC二 2 ZA. 图5 为了利用结论2,本题也可以作△ABC的外角平分线与CO的反向延长线相交于点P（如 图6）,易证CP是△ABC的外角ZBCE的平分线，根据“一对邻补角的平分线互相垂直” 可知 ZPBO=90。. 乂由结论 2 可知 ZBPC=90。-二 ZA,所以 Z BOC=ISO°-Z PBO~ Z 1 BPC=180°-90°-(90°- 2 ZA)= 2 ZA. 图6 同学们，阅读此文，你是否有一种沉浸在不尽的探索和喜悦Z中，在探索的过程中，我 们又利用探索出来的结论（或者叫做我们的小发明或小创造吧）去探索新的结论，你是否有一 种小小的成就感呢？ 有人算过这样一笔帐，一只蜜蜂要酿出一公斤蜂蜜，需要来回飞行大约三十万公里， 吸吮大约一千二TT万个花朵的液汁.每次采集回來，还需