概论与数理统计随机变量数字特征.pptVIP

第三章 第一节 第二节 第三节 内容小结 NORTH UNIVERSITY OF CHINA 上一页 下一页 返 回 结 束 目 录 第三章 随机变量的数字特征 《概率统计》电子教案 薛震 编 随机变量的数字特征 数学期望 方 差 协方差与相关系数 通常把刻划随机变量的某些特征的确定的数值称为 反映随机变量取值的分散程度——方差; 反映两个随机变量的线性关联程度——相关系数. 反映随机变量取值的集中位置——数学期望; 引 言 数字特征. 第三章 数学期望 一、随机变量的数学期望 二、随机变量函数的期望 三、数学期望的性质 一、随机变量的数学期望(均值) 引例. 两射手的射击技术如下, 问哪个射手技术较高? 0.1 9 0.6 0.3 p 10 8 X 甲: 0.6 9 0.3 0.1 p 10 8 Y 乙: 若让他们各射击N次, 则打中的总环数分别为 解: 甲: 乙: 平均起来, 甲每次射中9.3环, 乙每次射中9.2环, 故甲的射击水平略胜于乙. 定义1: 若级数 绝对收敛, 则称该级数和为X的数学期望, 设离散型随机变量X的分布列为 1.离散型随机变量的数学期望 记为 2.连续型随机变量的数学期望 定义2: 设连续型随机变量X的概率密度函数为 积分 绝对收敛, 若 则称积分值为X的数学期望, 记为 看成取值 对应概率 改变各项的顺序后级数的和不变 求和: 例1. 设用一均匀的骰子赌博. 在一次游戏中, 若出现2点, 则该人可赢20元, 出现4点赢40元, 出现6点则输30元, 若 出现其它点不输不赢, 求玩游戏的人赢得钱数的期望. 解: 令X表示在一次抛掷中赢得的钱数, 则X的分布列为 1/6 20 1/2 0 1/6 1/6 p 40 -30 X 因此若游戏是公正的, 则玩者为参加游戏应付5元底金. 例2. 设随机变量X的概率密度函数为 求X的数学期望 解: 由定义可知 二、随机变量函数的数学期望 定理: 设 (g为连续函数), ① 若 则 ② 若 则 0.3 0 0.3 0.4 p 2 -2 X 设X的分布列为 例3. 求 解: 例4. 对圆的半径作近似测量, 假设其值X均匀的分布在 [a,b]内, 即 求圆的面积的数学期望. 解: 设Y表示圆的面积, 则 若 注: 定理的意义在于不用求Y的分布, 只需用X的分布, 就可算出E(Y); ② 定理可推广到二维随机变量函数的情形: (g为连续函数), 设 若 则 则 ① (2) (1) 设(X,Y)~ 0 0 1/4 0 1/4 1/12 0 1/6 1/12 2 0 1/6 -1 1 -1 X Y 求 例5. 解: 求 例6. 设 解: 若 则 三、数学期望的性质 1. 特别 2. 线性性质: 3. 若X与Y相互独立, 则 注: 性质2,3可推广到n个随机变量的情形. (自证) 第三章 方 差 一、方差的概念 二、方差的计算 三、方差的性质 一、方差的概念 方差反映的是X的取值与其均值的偏离程度. 定义: 设X是一随机变量, 若 存在, 其为X的方差, 则称 记为 而称 为X的标准差(或均方差). 1. 证: 二、方差的计算 (1) 设 则 (2) 设 则 方差是随机变量函数 2. 的期望 例1. 设X的分布列为 求X的方差D(X). 1/6 1/2 1/12 1 1/6 0 1/4 1/3 p 2 -1 X 解: 由方差的计算公式可得 例2. 两厂家生产的手表日走时误差X,Y服从下列分布: 由于 可见, 平均下来两个厂家生产的手表日走时误差均为0, 而 因此, 第一个厂家生产的手表精度更高一些. 1. 2. 三、方差的性质 事实上, 则 推论: 则 3. 若X,Y相互独立, 由于X,Y相互独立, 证: 所以 相互独立, 设 则有 例3. 设X的期望 方差 化随机变量 求标准 期望与方差. 解: 第三章 协方差与相关系数 一、相关系数的定义与计算 二、协方差与相关系数的性质 NORTH UNIVERSITY OF CHINA 上一页 下一页 返 回 结 束 目 录 第三章 随机变量的数字特征 《概率统计》电子教案 薛震 编