新人教版九年级数学(上)——圆的概念与垂径定理.docVIP

圆的概念与垂径定理 圆的概念与垂径定理 知识点一、圆的定义 1、圆的第一定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O． 2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也． 3．圆的第二定义： 由圆的定义可知： (1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． (2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 注意：由圆的概念可知： EQ \o\ac(○,1)“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面。 EQ \o\ac(○,2)确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。 例题1：下列说法错误的有（ ） EQ \o\ac(○,1)经过P点的圆有无数个； EQ \o\ac(○,2)以P为圆心的圆有无数个； EQ \o\ac(○,3)半径为3cm且经过P点的圆有无数个； EQ \o\ac(○,4)以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 知识点二、圆的有关概念 弦： 连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦． 2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作， 读作圆弧AC或弧AC ． 3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示叫做优弧） 小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）或叫做劣弧． 5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 例题2：下列命题中，正确的个数是（ ）。 EQ \o\ac(○,1)直径是圆中最长的弦； EQ \o\ac(○,2)弧是半圆； EQ \o\ac(○,3)过圆心的直线是直径； EQ \o\ac(○,4)半圆不是弧。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例题3：下列几个命题中，正确的是（ ） A．两条弧的长度相等，那么他们是等弧 　 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等 巩固练习． 如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______． 综合讲练． 讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． (1)求证：∠AOC=∠BOD； (2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 讲练2：如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数． 知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理） 1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． 说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身． ②圆有无数条对称轴． 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 用符号语言描述： ∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M， ∴AM＝BM，，． 你能试着证明吗？ 说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段； ②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用， 即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2． 例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A．MP与RN的大小关系不定 B.MP=RN C.MP＜RN D.MP＞RN 例2 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的长 【课堂操练】 1．如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（　　） A、25° B、30° C、40° D、50°