中考数学试题分类汇编－压轴题４.doc

2010年中考数学试题分类汇编 压轴题(四) 23．(安徽省)如图，已知，相似比为k（k1），且的三边长分别为a、b、c（abc），的三边长分别为、、. （1）若c=a1，求证：a=kc； （2）若c=a1，试给出符合条件的一对，使得a、b、c和、、都是正整数，并加以说明； （3）若b=a1，c=b1，是否存在使得k=2？请说明理由. 第23题图 第23题图 解:（1）证：，且相似比为 又 （3分） （2）解：取 （8分） 此时且 （10分） 注：本题也是开放型的，只要给出的和符合要求就相应赋分. （3）解：不存在这样的和.理由如下： 若则 又， （12分） ，而 故不存在这样的和，使得 （14分） 注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下的情况不可能即可. 24．（芜湖市 本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－3 eq \r(3)，1）、C（－3 eq \r(3)，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－ eq \r(3)，1）、F（－ eq \F(4\r(3),3)，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′． （1）求折痕所在直线EF的解析式； （2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由． 解： （2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为. ， . . [此时需说明]. 6分 设二次函数解析式为： 抛物线经过、、. 得到解得 . 9分 （3）能，可以在直线上找到点，连接. 由于、在一条直线上，故的和最小， 由于为定长，所以满足周长最小. 10分 设直线的解析式为： . 12分 . 14分 [注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！] 26.( 重庆市綦江县) 已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式； (2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由. 解：方法一：∵抛物线过C(0,-6) ∴c=－6, 即y=ax2+bx－6 由 解得：a= ,b=－ ∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6 -----------------3分 方法二：∵A、B关于x=2对称 ∴A（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12) C在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a= ∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --------3分 （2）存在，设直线CD垂直平分PQ, 在Rt△AOC中，AC==10=AD ∴点D在对称轴上，连结DQ 显然∠PDC=∠QDC，-----------4分 由已知∠PDC=∠ACD ∴∠QDC=∠ACD ∴DQ∥AC -----------------------------5分 DB=AB－AD=20-10=10 ∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 -----------------6分 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒) ∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分-----------7分 在Rt△BOC中, BC==6 ∴CQ=3 ∴点Q的运动速度为每秒单位长度.------------------8分 （3）存在 过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9 在Rt△PQH中，PQ==3 --------------------9分 ①当MP=MQ，即M为顶点， 设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则： 解得： ∴y=3x-6 当x=1时，y=－3 ∴M1(1, －3) ------------------------10分 ②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点. 设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得： 42+y2=90 即y=± ∴M2（1，） M3（1，－） -----------------------11分 ③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点. 过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3) 设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得： (y＋3)2+52=90 即y=－3