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数学新课程创新教学设计案例 ——指 数 函 数 教材分析 指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞分裂、考古中所用的14C 教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题． 教学目标 1. 了解指数函数模型的实际背景． 2. 理解并掌握指数函数的定义、图像及性质． 3. 通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力． 4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识． 任务分析 学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程． 教学设计 一、问题情境 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……如果1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式． 先由学生独立解答，然后教师明晰细胞分裂的规律是：每次每个细胞分裂为2个． 当x＝0时，y＝1＝20； 当x＝1时，y＝20×2＝21； 当x＝2时，y＝21×2＝22； 当x＝3时，y＝22×2＝23； …… 归纳：分裂x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N． 二、建立模型 1. 学生讨论 上面得到的函数y＝2x有何特点？ （底数为常数，自变量在指数的位置上） 2. 教师明晰 一般地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数． 思考：为什么要限制a＞0且a≠1？ （理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．） 3. 练　习 在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像． （1）y＝2x．　（2）y＝10x．　（3）y＝（）x． 解：列表： 描点，画图： 4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝ax的性质 （1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）． （2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）． （3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1． 当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1． 5. 提出问题，组织学生讨论 （1）函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明． （2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子． 三、解释应用 ［例　题］ 1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5与1.73．　（2）0.8-0.1与0.8-0.2． 解：（1）考查指数函数y＝1.7x． ∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函数． 又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73． （2）类似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2． 思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？ 2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．（结果保留1个有效数字） 解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则 经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841； 经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842； …… 经过x年，剩留量y＝0.84x． 列表： 表11-3 x 0 1 2 3 4 5 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 画出指数函数y＝0.84x的图像： 由图上看出y＝0.5时，x≈4． 答：约经过4年，剩留量是原来的一半． 说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等． 3. 说明下列函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图． （1）y＝2x＋1．　　　　（2）y＝2x－2． 解：（1）比较函数y＝2x＋1与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等． ∴函数y＝2x＋1中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等． 又y＝20+1与y＝x1相等； y＝23+1与y＝x4相等； …… ∴将指数函数y＝2x的图