电大专科《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案必考重点.doc

电大《高等代数专题研究》作业参考答案 高等代数专题研究作业1 一、单项选择题：1-5：BCBDB 二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、，且是A到B的双射。 4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足：如果，则。则M含有一切自然数，即。 5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对nk正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。 三、计算题 1、解：到的映射一共有个，它们是： ，， 2、解：， 3、解：1）在G中，，并且，可表为两个不相交的轮换的乘积：。 2）， 3） 四、证明题 1、证明： 2、证明：则于是由a与b惟一确定的（即不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“”是一个代数运算。 ， ，所以，即“”满足结合律。 3、证明：当n=2时，，因此命题对n=2正确。 当n=4时，，因此命题对n=4正确。 同理可推出命题对，都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。 设命题对n=k正确，令，则，由归纳假设命题对n=k正确，所以，所发， 即，命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。 4、当n=2时，上述不等式成立，假设， 则 于是对一切的自然数n来说，。 五、简述题 1、答：，给予证明如下： 任取，且，则是单射。 任取，若为奇数，则有，使与之对应； 若为偶数，则有，使与之对应，所以有是满射。 所以是从Z到N的双射。 2、答：空集合的幂集不是空集合。应为。 高等代数专题研究作业2 一、单项选择题：1-5：DACCB 二、填空题： 1、 2、 3、 4、 5、 三、计算题 1、解： 所以原不等式的解集为。 2、解： ，即。 其中当且仅当，且成立， 解得，所以当时，取极大值，。 3、解：这是一个求具有约束条件的极值问题，由于它有三个变量，因而不能用消元法来解，但 ，只有当时等式成立。 所以只有当时，取最小值。 四、证明题 1、证明： ， 因都是正数，上式变为，得证。 2、证明：令， 再令，得的一元二次方程：，由于，所以 ，所以，即。 3、证明：因为是等差数列，则，则均值不等式，得 ， 又：，，，， 所以，所以，故结论得证。 五、简述题 1、答：设函数在某区间上定义，对于区间上的任意两点，都有 ，其中，则称在该区间上是下凸函数。 2、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。 高等代数专题研究作业3 一、单项选择题：1-5：BDDAC 二、填空题 1、1，3，5，7 2、如果d是a与b的公因式，且有，均有。 3、代数 4、1 5、-4，2（重根） 三、计算题 1、证：1）若，则， 且，故是有单位元素1的数环，因而是整环。 2）为中全部可逆元素。为奇素）为中全部不可约元素。 2、解：是的可逆元素。 ， 是的可逆元素。 因此，是的全部可逆元素。 四、证明题 1、证明：首先是整环，零理想是主理想，设是的任一非零理想，是中次数最低的多项式，则对任意有，使，其中或的次数的次数，由知，若则的次数的次数，这与是中次数最低的多项式矛盾，故必有，从而，这就证明了是由生成的主理想。 2、证：若之中有零或单位，易见结论成立。 不妨设都既非零也非单位，因为，所以有，将都分解为不可约元素的乘积，若非单位也将其分解：，则，由因式分解的惟一性，每个都与等式左边的一个因子相伴，因为，所以不与任何一个相伴，适当调整因子的次序，不妨设分别与相伴，于是可知。 3、证：由可知，，因是本原多项式，所以 ，由上第2题结论知：。 4、证：设，若从代数观点出发，则它们相应系数有以下关系：，显然它们在任意点的函数值也相同，即从函数论观点出发。 反之，若从函数论观点出发，则，这时域中所有元素都是的根。但是是一个次数不超过的多项式，在中至多有个根，而前述有无限多个根，这个矛盾证明必有，即从代数观点有。 五、简述题 1、答：定义：设是一个整环，如果中每一个不等于的非单位元素均可写成： ，其中是不可约元素，并且如果还有，其中也是不可约元素，则必有，且适当调整的顺序后，有，则称是因式分解惟一环。 2、答：定理：任何实系数次多项式至少有一个复数根。 高等代数专题研究作业4 一、单项选择题：1-5：BDCAA 二、填空题 1、 2、 3、 4、， 5、 三、计算题 1、解：把辆小轿车视为一辆，与辆大卡车排队有种方法，而小轿车又有种停放方法，所以一共有 种停放方法。 2、解：用相同元素的重复排列公式：，不同的摆法有：种。 3、解：展开合并同类项后共有：展开后每一项都是5次多项式，它的不同项实际上是从6个元素中取5个元素的方法数项，而的系数为：从3元素中取2个a，2个b，1个c，即为 ，所以的系数为30。 4、解：设表示能被整除而不大于2000的自然数集合，这