微分中值定理在不等式证明中的应用.doc

学号： 本科生毕业论文（设计） 开题报告 题目：浅析微分中值定理在不等式证明中的应用 院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学09级1班 学 生 姓 名 指导教师（职称） 闫用杰 （讲师） 提 交 时 间 2013年 6 月 安康学院 数学与统计 院（系） 数学与应用数学 专业 2013届本科生毕业论文（设计）开题报告 姓 名 学 　号 论文(设计)题目 浅析微分中值定理在不等式证明中的应用 选题的意义: 在高等数学中, 不等式的证明是数学学习中的重要内容之一,和一些应用题以及计算题相比，不等式的证明对于数学研究者来说一直是难点，主要在函数的构造上或者证明的思路上都有很大的难度。因此在研究不等式证明的过程中，既是发展了学者的数学思维也培养了逻辑思维方面的能力。不等式证明的常用方法有:比较法、分析法、综合法、归纳法、特殊不等式法等。它反映了各变量之间很重要的一种关系,在解各类方程、有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。在不等式的初等证法中,往往需要较高的技巧。通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。微分学同样也是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，可以根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题。 而对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。利用微分中值定理证明不等式可以增强解题的直观形象性,从而能起到化解难度、增加成功率等作用，对不等式的解题过程和解题思路，有了更加深刻的理解,分析问题和解决问题的能力会逐渐提高，提高了在做数学分析问题研究时的方便性。 所以微分中值定理在不等式证明中的应用是非常广泛的，研究它也是非常有必要的。 研究综述（前人的研究现状及进展情况,应不少于1000字）： 人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了。1637年著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理。1691年法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。1797年法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》(1823年)、《微分计算教程》(1829年)以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构， 他首先赋 予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。 微分中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，有关微分中值定理问题的研究非常活跃，且已有丰富的成果。相比之下，对有关中值定理应用的研究尚不是很全面。由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用。 当前, 微分中值定理证明不等式的运用已经成为数学研究领域中一个被关注的研究课题，受到了学者的普遍重视。相较于初等数学中的常用数学方法，利用微分中值定理证明不等式可以增强解题的直观形象性，从而能起到化解难度、增加成功率等作用。对不等式的解题过程和解题思路，有了更加深刻的理解，分析问题和解决问题的能力会逐渐提高，在做数学分析问题研究时，游刃有余。 蒙诗德在《数学分析中证明不等式的常用方法》文章中简单的介绍了利用柯西中值定理对不等式证明的方法。 庞永锋和赵彦晖在《利用微分中值定理证明不等式》中系统的介绍了利用罗尔中值定理证明不等式的方法，在此文章中指出利用罗尔中值定理很难证明不等式，应该在利用罗尔中值定理的同时要综合利用其他的微分中值定理。拉格朗日中值定理对若干不等式的证明以及其它特殊情形时的变换。柯西中值定理对不等式的证明应用，特别介绍了其特用情形。 总之，通过查阅大量的资料和书籍，使我看到