转动惯量的计算.ppt

转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度，用字母I或J表示。[1]?在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I?或J表示，SI 单位为 kg·m2。对于一个质点，I?=?mr2，其中 m 是其质量，r?是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。 J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素 质量离散分布的刚体 质量连续分布的刚体 dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布 5.3 定轴转动的转动惯量 例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。 有 将 代入上式，得： 解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所示），如果棒的质量线密度为?，则长度元的质量为dm=?dx，根据转动惯量计算公式： （2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时 O A l d x x 例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。 R 例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。 dm为薄圆环的质量。以 ?表示圆盘的质量体密度 解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为 代入得 J与h无关 一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。 例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。 解：一球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dz的薄圆盘。其半径为 其体积： 其质量： 其转动惯量： Y X Z O R r d Z Z （2）薄板的正交轴定理 y x z o （1）平行轴定理 d JC JD C 常见刚体的转动惯量 解:受力分析 取任一状态,由转动定律 例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈?角时的角加速度和角速度. P o ? 初始条件为：?=0，?=0 例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。 对物体m，由牛顿第二定律， 滑轮和物体的运动学关系为 解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有 物体下落高度h时的速度 这时滑轮转动的角速度 以上三式联立，可得物体下落的加速度为 圆柱对质心的转动定律： 纯滚动条件为： 圆柱对质心的转动惯量为： 例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 l F ac b f 解：设静摩擦力f的方向如图所示，则由质心运动方程 联立以上四式，解得： 由此可见 ，静摩擦力向前。 时， 当 0 2 f R l ，静摩擦力向后； 时， 当 0 2 f R l 例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的角速度成正比,即| M1 |= a?(Nm),(a为常数)。又已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度变化的规律。 M+ M0 M1 已知： M0 M1= –a? J ?|t=0=0 求：?（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； 2）分析受力矩 3）建立轴的正方向； 4）列方程： J M+ M0 M1=–a? 解： 4）列方程： 分离变量： 例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求： 1 ）当杆与铅直方向成?角时的角加速度： 2 ）当杆过铅直位置时的角速度： 3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。 已知：m，L 求：??，??，N 解：1） 以杆为研究对象 受力： mg，N（不产生 对轴的力矩） 建立OXYZ坐标系 ? Z N mg Y X O L 建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向） Z mg Y X O N 故取正值。 沿Z轴正向， ? L 2）??=？ 两边积分： ?? Z mg Y X O N ? 2）??=？ 3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。