反常积分法的收敛判别法.pdf

§2 反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 +∞ 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 f∫ax (dx) 由于反常积分+∞ 收敛即为极限 lim A 存在，因此对 f x (dx) f x (dx) ∫a A→+∞ ∫a 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： §2 反常积分的收敛判别法 反常积分的 Cauchy 收敛原理 下面以 +∞ 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。 f∫ax (dx) 由于反常积分+∞ 收敛即为极限 lim A 存在，因此对 f x (dx) f x (dx) ∫a A→+∞ ∫a 其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理，它可以 表述为如下形式： 定理 8.2.1（Cauchy 收敛原理） 反常积分∫+∞f (x )dx 收敛的充 a 分必要条件是：对任意给定的 ，存在 ，使得对任意 ， ε 0 A a ≥ A, A ′≥A 0 0 有 A ′ f ∫x (dx) ε 。 A 定义 8.2.1 设 f (x ) 在任意有限区间 [a , A] ⊂[a ,+∞) 上可积，且 +∞ 收敛，则称 +∞ 绝对收敛 （或称 在 上绝对 ∫a |f (x ) |dx f∫ax (dx) f (x ) [a ,+∞) 可积）。 若 +∞ 收敛而非绝对收敛，则称 +∞ 条件收敛 （或称 f∫ax (dx) f∫ax (dx) f (x ) 在[a ,+∞) 上条件可积）。 推论 若反常积分 +∞ 绝对收敛，则它一定收敛。 f∫ax (dx) 证 对任意给定的ε 0 ，由于∫+∞|f (x ) |dx 收敛，所以存在A a 0 ≥ ，使 a 得对任意A, A ′≥A0 ，成立 A ′ | f (x ) | dx ε 。