弹塑性力学习题.ppt

b b A y x h O F Fb/2 解： 应用应力函数求解： (1) 校核 相容方程 ，满足. (2) 求应力分量 ，在无体力时，得 (3) 考察主要边界条件， 均已满足 考察次要边界条件，在y=0上， 满足。 得 得 上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。 代入，得应力的解答， (4) 求应变分量， (5) 求位移分量， 将u,v代入几何方程的第三式， 两边分离变量，并全都等于 常数，即 从上式分别积分，求出 代入u,v, 得 再由刚体约束条件， 得 得 得 代入u,v,得到位移分量的解答 在顶点x=y=0， 例题5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数 求解应力分量。 y x o h/2 h/2 l 解：应用上述应力函数求解： (1) 将 代入相容方程， 由此， (2) 代入应力公式，在无体力下，得 (3) 考察主要边界条件 对于任意的x值，上式均满足，由此得 (a) (b) (c) (d) 由(3)+(4)得 由(3)-(4)得 由(5)-(1)得 (e) (4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由 得 由式(2)和(6)解出 （f） 另两个积分的边界条件， 显然是满足的。 于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。 读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的， 例题6 矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数 求解其应力分量。 M q q h y x o b/2 b/2 解：应用上述应力函数求解： (1) 代入相容方程， (2) 求应力分量，在无体力下， 考察边界条件，在主要边界 在小边界（ x= 0） 再由(a),(b)式解出 代入，得应力解答， 两种平面问题的比较 几何特征 受力特征 独立量 基本方程 平面应力 一个方向的尺寸其它两个方向的尺寸、有两个平行板面 面力作用在板边、平行于板面；体力也平行于板面都沿厚度不变；约束作用于板边平行于板面沿厚度不变 平衡微分方程、 几何方程相同 物理方程不同 平面应变 一个方向的尺寸其它两个方向的尺寸、横截面的形状和尺寸沿长度不变 面力、体力、约束都平行于横截面沿长度不变 将平面应力问题物理方程中的 代换即可 §5-8 楔形体受重力及液体压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。 o y x n α α 用半逆解法求解。 因为应力 , 而应力的量纲只比 高一次（L）， 所以应力 (x , y 一次式）, = 即可假设应力为x , y 的一次式。 （1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~ 关系式， 应为x,y的三次式， （3） 满足相容方程 （4）由 求应力， （5）考察边界条件--本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。 x=0 铅直面， 解出 解出 斜边界上， 须按一般的应力边界条件来表示，有 其中 由式（b)解出a、b,最后的应力解答, 水平截面上的应力分布如图所示。 例题1 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 图3-5，试用应力函数 求解 应力分量。 图3-5 y dy y x l h/2 h/2 o 解： 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。 1. 将 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。 考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15), 在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得： 由(a),(b) 解出 最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。 代入应力公式，得 例题2 挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。 y o x 解： 用半逆解法求解。 假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b