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学法指导 认真阅读课本P80-81内容,会解决下列问题: 1、什么是垂径定理?它的题设和结论分别是什么? 如何用符号表示?课本中是怎样证明的? 2、垂径定理的推论是什么?你会证明吗? 3、看例题,先做再对照:怎样添加辅助线求半径R? (若有困难,同伴交流) 时间:8分钟 * * * 九年级数学组 问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗? 赵州桥主桥拱的半径是多少? 学习目标 1、理解圆的轴对称性; 2、掌握垂径定理及其推论; 3、能用垂径定理进行简单的计算。 如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E. (1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么? · O A B C D E (1)是轴对称图形.直径CD所在的直线是它的对称轴 (2) 线段: AE=BE 弧: ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC=BC,AD=BD 说理 C . O A E B D 叠 合 法 证明:连结OA、OB,则OA=OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙ O的对称轴。 所以,当把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,AC、AD分别和BC、 BD重合。 因此 AE=BE,AC=BC,AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 题设 结论 (1)过圆心 (2)垂直于弦 } { (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 命题(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB 求证:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题(2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 已知:AB是弦,CD平分AB, CD ⊥AB,求证:CD是直径, AD=BD,AC=BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C . O A E B D C 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧。 推论(1) (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理 记忆 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备 (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 上述五个量中的已知任何两个量都可推出其他三个量。 注意 判断 (1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧…………………………………………..( ) (2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心……………………………………..( ) (3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( ) (4)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧………………………………………( ) (5)圆内两条非直径的弦不能互相平分( ) × √ × × √ 解得:R≈27.9(m) B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中,由勾股定理,得 即 R2=18.72+(R-7.2)2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. OA2=AD2+OD2 AB=37.4,CD=7.2, OD=OC-CD=R-7.2 在图中 如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D为垂足,OC与AB 相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C是 的中点,CD 就是拱高. AB ︵ AB ︵ AB ︵ *
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