北航数值分析大作业三.doc

一、题目： 关于x, y, t, u, v, w的下列方程组 以及关于z, t, u的下列二维数表 z u t 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 0 -0.5 -0.34 0.14 0.94 2.06 3.5 0.2 -0.42 -0.5 -0.26 0.3 1.18 2.38 0.4 -0.18 -0.5 -0.5 -0.18 0.46 1.42 0.6 0.22 -0.34 -0.58 -0.5 -0.1 0.62 0.8 0.78 -0.02 -0.5 -0.66 -0.5 -0.02 1.0 1.5 0.46 -0.26 -0.66 -0.74 -0.5 确定了一个二元函数z = f(x, y)。 1、试用数值方法求出f(x, y)在区域 上的一个近似表达式 要求一最小的k值达到以下的精度 其中，。 2、计算（i = 1, 2, …，8；j = 1, 2,…，5）的值，以观察逼近的效果，其中，=0.1i, =0.5+0.2j。 说明：1、用迭代方法求解非线性方程组时，要求近似解向量满足 2、作二元插值时，要使用分片二次代数插值。 3、要由程序自动确定最小的k值。 4、打印以下内容： ●算法的设计方案。 ●全部源程序（要求注明主程序和每个子程序的功能）。 ●数表： （i = 0,1,2,…,10；j = 0,1,2,…,20）。 ●选择过程的值。 ●达到精度要求时的值以及中的系数（r = 0,1,…,k;s = 0,1,…,k）。 ●数表：（i = 1, 2, …,8；j = 1, 2,…,5）。 5、采用f型输出的准确值，其余实型数采用e型输出并且至少显示12位有效数字。 二、算法设计方案 1.使用牛顿迭代法，对原题中给出的，，()的11*21组分别求出原题中方程组的一组解，于是得到一组和对应的。 2.对于已求出的，使用分片二次代数插值法对原题中关于的数表进行插值得到。于是产生了z=f(x,y)的11*21个数值解。 3.从k=1开始逐渐增大k的值，并使用最小二乘法曲面拟合法对z=f(x,y)进行拟合，得到每次的。当时结束计算，输出拟合结果。 4.计算的值并输出结果，以观察逼近的效果。其中。 三、算法实现方案 1、求： （1）Newton法解非线性方程组 ， 其中，t, u, v ,w为待求的未知量，x, y为代入的已知量。 设，给定精度水平和最大迭代次数M，则解该线性方程组的迭代格式为： 迭代终止条件为，若时仍未达到迭代精度，则迭代计算失败。 其中，雅可比矩阵 ， ， （2）分片双二次插值： 根据题目给出的表格， （其中，） 对于给定的,如果满足 则选择为插值节点，相应的插值多项式为 其中， 如果,则在式（2）中取i=1或i=4; 如果,则在式（2）中取u=1或u=4。 在区域上，将(i=0,1,…,10;0.5+0.2j,j=0,1,…20)代入到非线性方程组（1）中，用Newton法解出，再由分片双二次插值得，则有（i=0,1,…,10;j=0,1,…,20），即求出了。 2、求： 乘积型最小二乘拟合曲面： （1）求系数矩阵C： 其中， 计算中涉及到对矩阵求逆，接着在后面将会具体说明列主元的高斯消去法求矩阵的逆的方法。 （2）确定最小的k值，拟合曲面： 设，给定精度水平和最大迭代次数N，则确定最小k值的迭代格式为： 迭代终止条件为，若时仍未达到迭代精度，则迭代计算失败。 待确定满足精度条件的最小k值后，就可以进行曲面拟合计算了。 3、关于列主元的高斯消去法求矩阵的逆： 设非奇异矩阵，且 ，则 ， 对B和I列分块，有 即 其中， 应用列主元的高斯消去法线性解方程组 ， 则即为A的逆。 注：若A不可逆，则此算法失效。 四、源程序 #includeiostream // zhhfshzhfx3.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include stdio.h #include cmath const int M= 500;//迭代最大次数 const double E=1.0e-12;//确定牛顿迭代精度水平 const double E1=1.0e-7;//确定拟合精度水平 const int kmax=9;//k的最大值 const double matrix[6][6]={ {-0.5, -0.34, 0.14, 0.94, 2.06, 3.5}, {-0.42, -0.5, -0.26, 0.3, 1.18, 2.38}, {-0.18, -0.5, -0.5, -0.18, 0.46, 1.42}, {0.22, -0.34, -0.58, -0.5, -0.1, 0.62}, {0.78, -0.02, -0.5, -0.66, -0.5, -0.02