橡胶配方设计中的数学方法(PPT 115页).ppt

第三章　配方设计中的数学方法;1 随机变量及其分布;;实际中，我们不可能对所有的母体元素都进行统计，因此只能进行随机抽样检查或分析。就是说从母体取得一部分的个体，这部分个体叫子样。随机抽取子样有两种方法。一种是重复抽样，取一样品后又放回，这种抽法则每一个随机变量都是独立同分布，且与母体分布相同；另一种情况是取一样品不放回，如母体无限，随机变量仍是独立同分布，如母体有限，就并非如此。如子样容量为n，相对于母体容量N很小：n/N≤0.1 如随机子样用X(X1，X2，…，Xn)表示，近似可看成独立同分布。同分布即指每一个随机变量分布都是母体分布，与母体分布相同。因此我们可通过研究子样的一些特点来推测或推导出母体函数分布的特征，以便于理解。;2.子样分布; 上表称为子样频数分布。 那么频率分布可用下表给出： ;2.2 经验分布函数 Rn*(x); 因此， Rn*(x)可表示n次试验事件｛X≤x｝发生的概率，它与分布函数具有相同的性质： 非降性，右连续。 Rn*(-∞)＝0 Rn*(∞)＝1 那么Rn*(x)与我们所关心的母体函数分布F(x)有何关系呢？ 按W.Glivenko定理，当n值很大时， Rn*(x)近似于F(x)，所以我们可以用Rn* (x)来近似理解F(x)的性质。;2.3 直方图;举例 ;若n愈大，直方图越接近于子样分布密度函数f(x)的图像。 那么分布密度f(x)的性质： f(x)≥0 P｛a≤x≤b｝= 对开区间成立， 或左闭右开， 或左开右闭。;子样的重要数字特征;作业：从母体中抽得容量为50的子样，其频数分布为 ;3. 正态分布（高斯分布）的分布密度;正态分布性质; 从上面的解释中我们可了解到，对一个随机变量来说，分布函数F(x)才是它最完善的描述。但在实际情况下，我们并不需要知道全部的概率性质，只需要知道这个随机变量x的几个特征数字，能反映该变量的变化值的集中位置和离散度就够了。其中最常用的数字特征是数学期望和方差。;4. 数学期望和方差;;4.2 方差;数学期望的性质;方差性质; 前面介绍了数学期望和方差的概念及性质，我们来看一下，正态分布的数学期望是什么？ 令 ，得E(X)=u 同样可算出D(X)=σ 2 ; 那么对于f(x)，只要知道u，σ 2，即E(X)和D(X)，就可以画出其曲线。 正态分布表示为 ，往往需要对其进行标准化。如令 ，则随机变量Y服从标准正态分布，表示为 ，N(0，1)。 大家可计算E(Y)=0，D(Y)=1。 如;5. 三种重要抽样分布;大家可以用前面所学的计算一下：;5.2 分布;性质; ; 可以看出n取不同值时有不同图像，若对于给定α(0＜α＜1） 存在 使 。则称 为 的上侧分位 数。以后在参数估计和假设检验中常用到。 ; ;由中心极限定理，当 时， 也就是说 性质：设随机变量x服从自由度为n的 分布，则对任意x有 此性质证明当n很大时， 近似服从标准正态分布，即自由度n很 大的 分布近似于正态分布N(n,2n)。 再看当n＞45时如何计算 ?; 按上侧分位数定义， 因而 ，令 若Y服从标准正态分布N(0，1)，对于任意给定的α， 式中的 可以查表得到。 为标准正态分布的上侧分位数。则 例：要求 ，由α＝0.05，查 ＝1.645 则 ;5.3 t分布; 分布的密度图象为 令tα(n)为t分布的上侧分位数。从图中可以看出当 为标准正态分布，因此n＜45的tα(n)可查表，n45时可查正态分布 的值。;5.4 F分布;其分布密度图象： 有一重要性质：F服从F(n1，n2)时，则 服从F(n2，n1);参数估计; 因此s2不是σ2的无偏估计 按E(X)性质 σ2无偏估计，记为s*2 Es*2=σ2，这里可看到，当n很大时，s*2= s2 ; 前面我们所说的估计可以说是点的估计，而数理统计中的未知参数往往需要依靠一定的概率在一定范围内进行估计，这即是区间估计，例： 已知某橡胶试片的300％定伸强度在正常情况下服从正态分布，且标准差σ＝0.108，现测五个试片，其300％定伸是4.28，4.40，4.42，