高等数学等价无穷小替换-极限的计算.doc

讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了 SKIPIF 1 0 数列 SKIPIF 1 0 的极限、 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ）函数 SKIPIF 1 0 的极限、 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ）函数 SKIPIF 1 0 的极限这七种趋近方式。下面我们用 SKIPIF 1 0 ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊ SKIPIF 1 0 定义：当在给定的 SKIPIF 1 0 ＊下， SKIPIF 1 0 以零为极限，则称 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 ＊下的无穷小，即 SKIPIF 1 0 。 例如, SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的 SKIPIF 1 0 ＊下， SKIPIF 1 0 无限增大，则称 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 ＊下的无穷大，即 SKIPIF 1 0 。显然， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 所以 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时为无穷小，当 SKIPIF 1 0 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 SKIPIF 1 0 为无穷大， 则 SKIPIF 1 0 为无穷小；反之，如果 SKIPIF 1 0 为无穷小，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 是自变量在同一变化过程 SKIPIF 1 0 （或 SKIPIF 1 0 ）中的无穷小. 证：（必要性）设 SKIPIF 1 0 令 SKIPIF 1 0 则有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 （充分性）设 SKIPIF 1 0 其中 SKIPIF 1 0 是当 SKIPIF 1 0 时的无穷小，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2） SKIPIF 1 0 3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. SKIPIF 1 0