定积分思想在物理学中的应用.doc

定积分思想在物理学中的应用 面积元素数学是一门高等学科，更是解决其他学科问题的有效工具，定积分作为高等数学重要的组成部分，在物理学中不仅是数学工具的应用，还是一种思维方法的应用。微分和积分是定积分的精髓，正是其告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于化曲为直了。 面积元素 定积分 A= i=1nf(δi 重要思想： 分割近似，极限求和 方法： 微元法 如果依据以前的常规函数，只能解决一些线性问题，但在实际问题中，物体的状态常常是变化的，，这时利用定积分的无限分割思想就能解决困难的物理问题。 定积分在物理应用关键在于：首先对各种常用坐标系有整体概念，其次理解各种常用坐标系下的“数学微元”意义，如：微功，微压力，微引力等，进而求出变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题。 定积分为物理学提供的思想工具： 解决速度和加速度的问题 匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt，但变速直线运动，物体的唯一如何求解呢？ 例：汽车以10m/s的速度行驶，设汽车以2m/ a2 解析 现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式，就可以求得汽车走了0.025公里。 但是，所谓的匀减速直线运动速度位移公式怎么来的，其实就是应用了定积分思想： 把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种 微小变化，认为物体在做匀速直线运动，接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求 和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白物体在变速直线运动时的位移等于速度时间 图像与时间轴所围图形的“面积”，即： 定积分求解从开始刹车到停车的时间t=5s，所以汽车由刹车到停车行驶的位移 X= 0510- 解决变力做功问题 分析：设质点由点A移动到点B（A的坐标为a，点B的坐标为b），作用于质点上的力F是坐标x的连续函数F = F(x) 则在［a,b］上任取子区间［x,x+dx］,质点从点x移动到x+dx时，力所作的功为 dW =F(x)dx 将微元dW从a到b求定积分，的F（x）在整个区间上所做的功为： W=a 例1：一弹簧原长是10cm，把它由原长拉长6cm，计算力F克服弹力所作的功。 根据胡可定律克制，力F与弹簧的伸长量x成正比，即F = kx. 其中k为弹簧的弹性系数，显然力F随x的变化而变化，它是一个变力. 去弹簧伸长量x为积分变量，x ［0,6］，在［0,6］上任取子区间［x，x+dx］，功元素为dW = kxdx，所以功 W = 06kxdx =kx22| (注意) 如果选取伸长量为x-10，x 的变化区间为［10,16］，力F为F ＝ k（x-10）. 于是功元素 dW＝k（x-10）dx 所求功为 W＝ 1016k（x-10 例2：在原点O有一个带电量为+q的点电荷。它所产生的电场对周围电荷有作用力。现有一个单位正电荷从距离原点a处沿射线方向移动至距离O点位置为b（ab）的地方，求电场力做功？又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？ 解：取电荷移动的射线方向为x轴正方向，那么电场力为F=kqx2 （k）为常数）。这是一个变力。在［x， dW ＝ kqx 于是功为 W ＝ abkqx2dx =kq(-1x)| = kq 若移至无穷远处，则做功为 a kqx2dx = kq 例3（抽水做功）修建一座钻井要先下管环，并且抽掉里面的水再进一步施工。已知管环的直径为20米，水深27米，管环高出水面3米，求抽掉管环中的水所做的功。 解：首先建立坐标系 取x为积分变量，积分区间为［3,30］。在区间［3,30］上任取子区间，与之对应的以薄层（圆柱）水的重量为 9.8ρ|（102 dx) 其中ρ=103千克/立方米为水的密度。因为把这一薄层水抽出管环所做 dW ＝ 9.8p(102 dx)x ＝ 9.8×105xdx 以9.8×105xdx为被积表达式，在区间［3,30］上做定积分，得所求功为 W ＝ 3309.8×105xdx ＝ 4.9×105x2| ≈ 液体的压力 物理学知，在水深h处的压强为p=ρgh，其中ρ是水的密度，g是重力加速度。如果有一面积为A的平板水平放置在水深为h处，那么平板所受的水压力是