随机变量及其分布.ppt

* * * * * * * * * * 1.n重bernoulli试验: n个试验满足①每次试验样本点仅有两个-- “成功”、“失败”，且“成功”的概率为p; ②n个试验是相互独立的,即其中任何一个或 几试验的结果都不影响其它试验中各种结果 出现的概率. 2.n重bernoulli试验序列: 对于任意自然数n(≥2),n个试验都是n重 bernoulli试验的无限试验序列. 3.在n重Bernoulli试验中,“成功”出现的次数 是一个随机变量,它服从二项分布. 4.服从二项分布的随机变量的最可能取值(最可 能成功次数):当(n+1)p为整数时,为(n+1)p和 (n+1)p-1;当 (n+1)p不为整数时,为[(n+1)p]. 5.在Bernoulli试验序列中,首次“成功”出现时 的试验次数是一个随机变量,它服从几何分布. 6.Poisson定理:在n重Bernoulli试验中,当试验 次数很大,成功概率很小时,二项分布随机变量 的分布可用服从参数为np的Poisson分布来近 似. 如:已知某人射击的命中率为0.02,求在400次 独立射击中,至少命中两次的概率. 7.范例: ①从学校到火车站途中有三个交通岗,各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,且概率都为2/5,求途中遇到的红灯数的分布列. ②设随机变量X等可能地取0,1,2,3,4,5为值,现在对它独立地观测10次,求至少有一次观测值不小于4的概率. * * * * * * * 例2.4.9（904）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似 服从 正态分布，平均成绩为 72分，96分 以上 的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至80分之间的概率。 解:设X为考生的外语成绩,则 X~N(72,σ2), 由题意得: P{X96}=0.023 =1-Φ[(96-72)/σ]= 1-Φ(24/σ) 所以 , Φ(24/σ)=1-0.023=0.977 反查表得: 24/σ=2,故: σ=12 所求P{60X84}= =0.682 例1 已知X~N(3,22),且 P{XC}=P{X≤C} 则C=（ ）。 例2（935）设X~N(μ，42),Y~N(μ，52), 记 p1=P{X≤μ-4}，p2=P{Y≥μ+5}则( ) ①对任意实数μ，都有p1=p2 ②对任意实数μ，都有p1p2 ③只对μ的个别值，才有p1=p2 ④对任意实数μ，都有p1p2 例3（954）设X~N(μ，σ2),则随σ的增大，概率P{|X-μ|σ} （ ） ①单调增大 ②单调减少 ③保持不变 ④增减不定 图示 3 ① ③ 强化练习 图示: f(x) x 0 μ P{X≤μ} P{X≥μ} 例4.(881)设 X ~ N（10，0.0004),Φ（2.5）=0.9938， 则 X 落 在区间（9.95，10.05）内的概率为( ). 例5(911) 设 X ~ N（2，σ2),且P{2X4}=0.3,则 P{X0} =( ). 0.9876 0.2 第2.5节、随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数 的分布 设X是一个随机变量，y=g(x)是一实函数，一般地说X的函数Y=g(X)仍为一个随机变量，下考虑由X的分布去确定Y的分布 步骤：1、确定Y的取值y1,y2,…yi… 2、求概率P{Y=yi}=?pj 这里yi=g(xj)， P{X=xi}= pj 3、列出概率分布表 例2.5.1 设X~B(2,0.3),求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2-2X 3、Y3=3X- X2 解：X的概率分布为 P{X=k}= 0.3k0.72-k k=0,1,2 列表如下： X 0 1 2 X2 0 1 4 X2-2X 0 -1 0 3X- X2 0 2 2 概率 0.49 0.42 0.09 Y1 0 1 4 P 0.49 0.42 0.09 Y2 -1 0 P 0.42 0.58 Y3 0 2 P 0.49 0.51 则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为 二、连续型