数学竞赛辅导讲座：高斯函数.doc

PAGE 数学竞赛辅导讲座：高斯函数 知识、方法、技能 函数 SKIPIF 1 0 ，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数 SKIPIF 1 0 是不超过 SKIPIF 1 0 的最大整数，称 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数 SKIPIF 1 0 由 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的定义不难得到如下性质： （1） SKIPIF 1 0 的定义域为R，值域为Z； SKIPIF 1 0 的定义域为R，值域为 SKIPIF 1 0 （2）对任意实数 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 . （3）对任意实数 SKIPIF 1 0 ，都有 SKIPIF 1 0 . （4） SKIPIF 1 0 是不减函数，即若 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 ，其图像如图I －4－5－1； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5） SKIPIF 1 0 .其中 SKIPIF 1 0 . （6） SKIPIF 1 0 ；特别地， SKIPIF 1 0 （7） SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ；一般有 SKIPIF 1 0 ；特别地， SKIPIF 1 0 . （8） SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 . 【证明】（1）—（7）略. （8）令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，因此， SKIPIF 1 0 .由于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则由（3）知， SKIPIF 1 0 于是， SKIPIF 1 0 证毕. 取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论. 定理一： SKIPIF 1 0 ，且1至x之间的整数中，有 SKIPIF 1 0 个是 SKIPIF 1 0 的倍数. 【证明】因 SKIPIF 1 0 ，此式说明：不大于x而是n的倍数的正整数只有这 SKIPIF 1 0 个： SKIPIF 1 0 定理二：在 SKIPIF 1 0 ！中，质数 SKIPIF 1 0 的最高方次数是 SKIPIF 1 0 【证明】由于 SKIPIF 1 0 是质数，因此 SKIPIF 1 0 含 SKIPIF 1 0 的方次数 SKIPIF 1 0 一定是1，2，…， SKIPIF 1 0 各数中所含 SKIPIF 1 0 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n中有 SKIPIF 1 0 个 SKIPIF 1 0 的倍数，有 SKIPIF 1 0 个 SKIPIF 1 0 2的倍数，…，所以 SKIPIF 1 0 此定理说明： SKIPIF 1 0 ，其中M不含 SKIPIF 1 0 的因数.例如，由于 SKIPIF 1 0 +…=285+40+5=330，则2000！=7330·M，其中7 M. 定理三：（厄米特恒等式） SKIPIF 1 0 【证法1】引入辅助函数 SKIPIF 1 0 因 SKIPIF 1 0 … SKIPIF 1 0 对一切 SKIPIF 1 0 成立，所以 SKIPIF 1 0 是一个以 SKIPIF 1 0 为周期的周期函数，而当 SKIPIF 1 0 时，直接计算知 SKIPIF 1 0 ，故任意 SKIPIF 1 0 ，厄米特恒等式成立. 【证法2】等式等价于 SKIPIF 1 0