不等式中级水平必备.doc

第 PAGE 2 页 不等式中级水平必备 一、幂平均不等式 1、幂平均函数：设，则幂平均函数定义为： ； 这两个式子称为幂平均函数. 2、幂平均不等式：幂平均函数在实数空间是连续且单调递增的. 利用其增减性得到的不等式称为幂平均不等式. 3、在点的证明：设函数 则： 于是： 即： = 1 \* GB3 ① 而： 则： 故： 则： = 2 \* GB3 ② 将 = 1 \* GB3 ①代入 = 2 \* GB3 ②得：. 式证毕. 二、幂平均不等式的推论 1、在点：由式得： 故的幂平均值是调和平均值. 2、在点：由已证明过的式： 故的幂平均值是几何平均值. 3、在点：由式得： 故的幂平均值是算术平均值. 4、在点：由式得： 故的幂平均值是平方平均值. 5、推论：根据幂平均函数在实数空间是连续且单调递增，由可得： 当且仅当时取等号. 以上是由幂平均不等式推导的均值定理，在处理更高次方时，即时，式仍适用. 三、加权不等式 1、加权不等式：若，且，则就是权重， 当（）时，恒有： 成立. 式就是加权不等式. 2、对时：此时式为： 取，上式变为： 这是二元的均值不等式. 3、对时：此时式为： 取，上式变为： 这是三元的均值不等式. 4、评价：此加权不等式为均值加权，由于权重的灵活配置，加权不等式比均值不等式更加灵活，也更加高效. 四、加权琴生不等式 1、琴生不等式：对于向下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值.用数学式子表达为： 左边是函数的平均值，右边是平均值的函数值. 对于向上凸函数，只需在函数前面加一个负号就可以直接采用式. 2、加权琴生不等式：若函数在区间连续，且在区间为向下凸函数，若，且，对于一切，则： 当时，式就化为式. 因此，式是更普遍的琴生不等式. 3、推论：设函数，在区间时，是一个连续函数，则： = 1 \* GB2 ⑴ 对一切，恒有： = 2 \* GB2 ⑵ 对一切，，恒有： 4、向下凸函数判据：设函数，在区间时，是一个连续函数. = 1 \* GB2 ⑴ 如果成立，则为向下凸函数. = 2 \* GB2 ⑵ 如果，则为向下凸函数. 五、柯西不等式 1、柯西不等式：设为实数，则： 这就是著名的柯西不等式. 2、推论1：设，，则： 3、推论2：设，，则： 式被称为权方和不等式. 4、推论3：设，，则： 5、推论4：设，，则： 六、伯努利不等式 1、伯努利不等式：设，则： 2、当时： 可见，式是式的特例，式更普遍. 七、切线法不等式 即：设限法 1、切线法：设为实值向下凸函数，， ，直线与相切于，假设：在区间，始终有： 则：式就称为切线不等式. 当时，前面加负号就可以采用式 2、指数不等式： （） 函数为：，为向下凸函数. 则：，， 在处的切线方程为： 故：在区间，由式得：，即： 式就是指数不等式. 3、对数不等式： （） 函数为：，为向上凸函数. 设，则为向下凸函数. 则：，， 在处的切线方程为： 故：在区间，由式得：， 即：，即： 式就是对数不等式. 八、定义符号 对于3个对称变量的不等式，为了简化书写，便于计算，我们定义两个简化求和符号. = 1 \* GB2 ⑴ 定义：为单轮换求和：展开项数为. 式为单轮换求和定义式. 根据定义： 单个求和：； ； . 双积求和：； ； ； . 三积求和：； ； ； . = 2 \* GB2 ⑵ 定义：为双轮换求和：展开项数为. 式为双轮换求和定义式. 根据定义： 单个求和：； ； . 双积求和：； ； . 三积求和：. ； ； = 3 \* GB2 ⑶ 和的平方： 简写为： = 4 \* GB2 ⑷ 和的立方： 简写为：； 九、舒尔不等式 1、舒尔不等式：设，对任何，恒有： 简写为： 式这就是舒尔不等式. 2、对的特例： = 1 \* GB2 ⑴ 简写为：，或 由于： 所以： 代入式得式. = 2 \* GB2 ⑵ 由于： 所以式为： 即：，这正是式. = 3 \* GB2 ⑶ 简写为： 不等式左边： 不等式右边： 代入式得： 即：，即：，这正是式. = 4 \* GB2 ⑷ 简写为： 由得左边为： 移项合并得：，这正是式. = 5 \* GB2 ⑸ 简写为： 由代入式得： 即：. 对于时，与此类似推导. 十、缪尔海德不等式 1、缪尔海德不等式：设为实数，且，， ，，； 设，则有： 简写为： 这就是缪尔海德定理. 2、推广为一般式： 十一、赫尔德不等式 1、赫尔德