第七章 非线性动态经济系统.pdf

第七章 非线性动态经济系统 内容 第一节 非线性动态系统 第二节 一维非线性动力系统方程 第三节 二维非线性差分方程 第四节 两维非线性动态经济系统的稳定性 分析 第五节 二维非线性动力学模型：几何学分析 与应用 第六节 三维非线性动力学模型 第一节 非线性动态系统 一、什么是非线性与非线性动力系统 “线性”与“非线性”首先用来区别函数对自变量x 的依 赖关系。线性函数的一般形式为： y ax b 其图像是一条直线（图6.1 ）。 其它一切高于x一次方的多项式函数和其它函数， 都是非线性的，其图像不是直线。最简单的非线性函 数是抛物线。 y ax 2 bx c 如图6.2所示。其中a、b、c为参量，但它们并不同样 重要，a对方程的性质具有决定性作用， 若a=0 曲线则退化为直线，函数退化为线性 函数，b和c可以改变曲线的形状。 图6.1 图6.2 二、“线性”与“非线性”关系 1、线性是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏 离，线性关系是水涨船高，但一般只适用于自变量的 一定范围，不能无限制地涨上去，而非线性才能反映 “是非曲直”、“过犹不及”、“一波三折”等复杂行为。 2、线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则有相互 作用。线性满足“线性叠加”原理，而非线性相互作用使 得整体不再简单的等于部分之和。 3、对线性的细小偏离，往往并不引起行为突变，而且可 以从原来的线性情形出发，靠修正线性理论去描述和 理解。然而，非线性大到一定程度时，系统行为可能 发现突变。 当一个系统的行为集满足叠加原理时，这个 系统称为线性系统。 Z c B 也就是说，对于任何 ， 和 ， 1 z B 2 有 z 1 z 2 B 和 cz 1 B 。 古典物理 输入有些微差距→输出亦同 非线性系统 输入有些微差距→输出大大不同 有一英文诗：因少了一根铁钉，使马蹄铁坏了。 因马蹄铁坏，使马儿死了。 因死了一匹马，使骑讯骑兵阵亡。 因死了一传讯骑兵，使这场战役输了。 因这场战役打输，国家也就灭亡了。 三、什么是线性与非线性动态系统？ 在动态（动力学）方程中，状态变量含有非 线性项的系统则是非线性动态系统。即在  X F (X ) 或 X t1 F (X t )  F () X 中，如果 是非线性函数，那么， 和 X t1 表示的是非线性动力系统。 线性与非线性动态经济系统关系 线性动态经济系统是非线性动态经济系统的一级近 似，也是研究非线性动态经济系统的基础，而非线性动 态经济系统是线性动态经济系统的高级形式，研究的是 比较复杂的经济动力行为和规律。 研究非线性动态经济系统的理论基础是非线性动力 学。非线性动力学旨在分析和解释非线性动态现象，20 世纪60年代至70年代在气象学、生态学和数值分析等领 域的非线性动