运筹学1预备知识.pdf

最优化理论与算法 §1 预备知识 TP SHUAI 1 1，预备知识 1.线性空间 2.范数 3.集合与序列 4.矩阵的分解与校正 TP SHUAI 2 1.线性空间 Df 1.3 :给定一非空集合G以及在G上的一种代数运算 +:G×G→G(称为加法),若下述条件成立: (1)a, b, c G, 有a (b c)  (a b) c (2)0 G, 使得a G, 有a 0  0 a  a (3)a G, -a G使得a (a)  (a) a  0 则G,+称为一个群.若还满足对任意的a,b ∈G,有 a+b=b+a,则G,+称为一个阿贝尔群(交换群) 3 TP SHUAI 1.线性空间 Df 1.4:给定一非空集合V和一个域F,并定义两种运算加法 +:V ×V→V以及数乘: F ×V→V.若V,+构成一交换群, 且两种运算满足下面性质: a, b V , ,F以及单位元1F , 有 1a  a (a)()a ()a  a a (a b) a+b 则称V在域F上关于加法和数乘 运算构成一线性空间,简称 V为F上的线性空间.记为V(F).若V的非空子集合S关于加法 和数乘运算在F上也构成一线性空间,则S称为F上的线性子 空间. 4 TP SHUAI 1.线性空间  例子 n 1,R 是实数域R上的一线性空间. 2, R[x] 是系数在实数域R上次数小于n的全体多项式 n 组成的集合,则R[x] 关于多项式的加法以及数与 n 多项式的乘法构成一线性空间. 3, Rmn是实数域R上所有mn矩阵组成的集合,则 其关于矩阵加法和数乘运算构成一线性空间. 5 TP SHUAI 1.线性空间 Df 1.5,设S , S 是线性空间V(F)的两个子集,则 1 2 S S ={x | x S ,i 1,2}, 1 2 i 1 2 i S  S ={x | x x  x , x S ,i 1,2}, 1 2 i 分别称为S 和S 的交与和. 1 2 命题: 设S , S 是线性空间V(F)的两个线性子空间,则S S 和 S  S 1 2