专题七 “数形结合”在初中数学中的运用.doc

. .. 专题七 “数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点和之间的距离可以用公式计算．利用这个公式计算原点到直线的距离． 解：设是直线上的任意一点，它到原点的距离是 当时，． 所以原点到直线的距离为． 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 例2．已知的三边长分别为、和（m、n为正整数，且）．求的面积（用含m、n的代数式表示）． 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题，可用“海伦公式”计算，但运用“海伦公式”一般计算比较繁，能避免最好不用．本题能不能避免用“海伦公式”，这要看所给的三角形有没有特殊之处．代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来：，也就是说，的三边满足勾股定理，即是一个直角三角形． “海伦公式”：三角形三边长为a、b、c，p为周长的一半，则三角形的面积S为： ． 解：由三边的关系：． 所以是直角三角形． 所以的面积． 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法．另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用．代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的． 例3．直线与抛物线相交，两交点的横坐标分别为、，直线与x轴的交点的横坐标为．求证：． 【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦．如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦． 解：∵直线与x轴的交点的横坐标为， ∴． ∴． ． ∵直线与抛物线两交点的横坐标分别为、， ∴、为关于x的一元二次方程的两个不等实根． ∴，． ∴． ∴． 例4．将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 【分析】这是一类很常见的问题．如果单单从“形”的角度来思考，恐怕除了试验，没有其它更好的办法了．但是如果我们先不忙考虑怎样剪裁，而是先从“数”的角度来算一下，我们不难利用面积算出剪拼出来的正方形边长应该是．现在我们只需要在图中找出来一段边长为的线段，以此为一边作一个正方形（如图），我们就不难设计出各种剪裁方法了． 【说明】有人把这种方法叫做“面积法”，其实“面积法”这个名字并没有揭示这类方法的所有本质．“面积”是剪拼问题中的一个“不变量”，几乎所有的剪拼问题，都可以先抓住“面积”这个不变量来进行“数”的计算．另一方面，“面积”本身就是从“数”的角度来刻画“图形”的大小特征的一个概念．因此，所谓“面积法”，实际上就是“数形结合”这种数学思想的一种具体体现． 二、以形助数 几何图形具有直观易懂的特点，所以在谈到“数形结合”时，更多的老师和学生更偏好于“以形助数”，利用几何图形解决代数问题，常常会产生“出奇制胜”的效果，使人愉悦．几何直观运用于代数主要有以下几个方面： （1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如： 正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式； 将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式；等等． （2）利用数轴或坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，依靠直观帮助解决代数问题，或者简化代数运算．比如： 绝对值的几何意义就是数轴上两点之间的距离； 数的大小关系就是数轴上点的左右关系，可以用数轴上的线段表示实数的取值范围； 互为相反数在数轴上关于原点对称（更一般地：实数与在数轴上关于对称，换句话说，数轴上实数关于的对称点为）； 利用函数图像的