求极限的方法大全.ppt

第二节 极 限 的 概 念 一、数列的极限 二、函数的极限 三、无穷小及其性质 四、极限的四则运算 五、两个重要极限 六、无穷大量、无穷小比较 ( The Concept of Limits ) 一、数列的极限 割圆术：（刘徽） 1、概念的引入 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例 数列 —— 定义在自然数集合的函数 整标函数 2、数列极限的定义 记作 可以无限接近 注意 不一定能到达 对于数列 ，当 （即无限增大）时， （常数），则 a 称为 的极限， 二、函数的极限 概述：函数的极限是指当 x 按某种规律变 化，f (x) 的变化趋势。 1、 时函数的极限 定义： 当自变量的绝对值| x |无限增大时， 如果函数 （常数），则称 a 为 在 时的极限，记作 或 例 例 ?单侧极限 2、 时函数的极限 定义： 当 ，若 ，则称 a 为 在 时的极限，记作 考察函数 f（x）= x2, 当x→2 时的变化趋势 例 x 2. 5 2. 1 2. 01 2. 001 2. 0001 ... →2 f(x) 6. 25 4. 41 4. 04 4. 004 4. 0004 ... →4 x 1. 5 1. 9 1. 99 1. 999 1. 9999 ... →2 f(x) 2. 25 3. 61 3. 96 3. 996 3. 9996 ... →4 3.61 1. 9 0 y x 2 4 2.1 4.41 注意： 例 3、单侧极限 解 左极限 右极限 左右极限存在且相等, 注 左右极限存在但不相等, 例 证 4、判别极限存在的法则 法则 1 若在同一极限过程中，有下列关系 且 则 法则 2 单调有界数列（函数）一定有极限 三、无穷小量及其性质 极限为零的变量称为无穷小。 定义： 例如 无穷小是变量，不能与很小的数混淆; 注意 定理1 判定定理： 定理3 有界变量或常数与无穷小的积是无穷小 定理4 有限个无穷小的和或积是无穷小 定理2 若 为无穷小， 则 也是无穷小 四、极限的四则运算 定理 证 由无穷小运算法则,得 推论1 推论2 例1 解 解 例2 (消去零因子法) 例3 解 (无穷小因子分出法)