数列极限的概念.ppt

都落在a点的ε邻域 因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点 这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。 OK! N找到了！！ nN 目的： NO, 有些点在条形域外面！ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● N e 越来越小，N越来越大！ 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 分析: 例1 证明 下页 ??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . 利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限 例 2 证明 证明 则当n ＞N时，有 例3. 证明 分析，要使 （为简化，限定 n 只要 证. 当 n N 时有 由定义 适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。 . 例4.证明 （K为正实数） 证：由于 所以对任意ε＞0，取N= , 当 n＞N时, 便有 例5 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例6 证 例7 证 由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤： 2 适当放大 ，通常放大成 的形式 ， 求出需要的 1 化简 3 解 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 四 收敛的否定: ＞ 数列 发散 ＞ ＞ ＞ 五 数列极限的记註: 1 满足条件 “ ”的数列: 。 2 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 3 数列极限的等价定义: 对 对任正整数 六 无穷小数列: 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0） 命题1. 的极限为n = 是无穷小量. 变量有极限 的充要条件为它可分解为 加一个无穷小量。 命题2 无穷小量加绝对值仍为无穷小量。 命题3 无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。 命题4 小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法. 第二章 数列极限 §2.1 数列极限的概念 §2.2 收敛数列的性质 §2.3 数列极限存在的条件 §2.1 数列极限的概念 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法 一、概念的引入 引例 1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S. A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积, A3表示圆内接正24边形面积, An表示圆内接正6?2n-1边形面积, ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ? ? . 显然n越大, An越接近于S. 因此, 需要考虑当n??时, An的变化趋势. 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 二、数列的定义 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖 先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念 例1 战国