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§§§§2222.5.5 格林函数法格林函数法格林函数法格林函数法 Method of Green FunctionMethod of Green Function 一一一一、、、、分离变量法和镜像法能解的情况分离变量法和镜像法能解的情况分离变量法和镜像法能解的情况分离变量法和镜像法能解的情况 1、分离变量法能解的情况：自由电荷全聚集在边界 上上，也就是说也就是说：：在要求解电场区域没有自由电荷在要求解电场区域没有自由电荷 (泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。 2 ρρ 2 ∇ϕ − →∇ϕ 0 ε 2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷， 或者只有有限几个几个点电荷，并并且区域边界界或介介质 界面规则( 电场能用等效电荷代替)+边界条件。 二二二二、、、、GGGGreenreen函数法能解的情况函数法能解的情况函数法能解的情况函数法能解的情况 能用能用Green定理求解静电边值问题的情况定理求解静电边值问题的情况: 给定区域给定区域V内电荷分布内电荷分布 r ，，和区域和区域V的边界面的边界面 ρρ((x )) ∂ϕ ϕ S上各点的电势 或电势法向导数 。 s ∂n S ϕϕ 第一类边值问题第一类边值问题::给定给定SS上的电势上的电势 ,, 也称狄利克也称狄利克 ss 莱边值问题; 第二类边值问题:给定S上的 ∂∂ϕϕ ，也称诺埃曼 ∂n S 边值问题边值问题。。 下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电下面将讨论这些边值问题是怎样借助于有关点电 荷的较简单的边值问题而得到解决的。 三、三、点电荷密度的点电荷密度的 函数表示函数表示δ 因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷 密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在r′ x 处有一点电荷Q，则电荷密度可写为 0 r′ r r r r′ ⎧⎧ x ≠x ρ(x ) Qδ(x −x ) ⎨ r′ r (1) ∞ x x ⎩⎩ 显然 r r r′′ ρ((x ))ddτ QQδδ((x −x ))ddτ QQ ∫∫