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浅谈三体问题 甘庆雨 （东南大学物理系，南京，21189 ） 【 】 1 摘要：本文运用Verlet 算法 的数值计算方法模拟了目前仍无法解析求解的三 体系统，包括经典三体系统和限制性三体系统，其中模拟的日月地系统与实际情 况符合得很好，同时也模拟了3 种运动状态稳定的三体系统。本文还通过对数值 计算所得出数据的定性分析，探讨了算法精度对结果的原则上不可除去的影响与 系统中的质点所具有的大幅度振荡特性，得出了三体系统是混沌系统的结论。 关键词：三体问题，精度，稳定态，混沌 三体问题是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体， 在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。三体问题是希尔伯特于 1900 年 提出的 N 体问题的特例。在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万 有引力作用下的运动方程都可以表示成3 个二阶的常微分方程，或6 个一阶的常 微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到 18 个积分 才能得到完全解。虽然从理论上可以证明三体问题属于决定论问题，但要想得到 通解表达式，通过降维的方法意味着我们需要 18 个不变量条件，然而目前只有 10 个（质心方程3 个，动量守恒方程3 个，角动量守恒方程3 个，能量守恒方 【 】 2 程 1 个），所以说在解析上还远远解决不了三体问题。 但我们可以从计算机模 拟和数值计算的方法来得到一些启示性的和重要的结论。 1 原理与算法 1.1 原理 此文中只考虑二维平面的三体问题，设质量分别为, , 的三个圆 球（当做质点，标号为, , ）处于平面π上，它们的位矢分别 , , ，速 度分别为 , , ，它们之间的万有引力分别为 , , , , , (注 意 指质点受到质点 的力，以此类推) 。示意图如图1 所示 Y c π O X 图1，三体问题示意图 图中 ，代表该系统的质心与质心位矢，相应的 ， 表示质心的质量与速 度。由牛顿万有引力定律和第二定律有如下关系：