高等代数-李海龙-习题第10章群、环和域简介.doc

第十章 群、环和域简介 10.1 群 判断下列集合对于所给的运算来说哪些作成群,哪些不作成群： 某一数域F上全体矩阵的加法； 全体正整数对于数的乘法； 对于数的乘法； 对于数的乘法； 对于数的乘法． 解： 设数域F上全体矩阵的集合为，对于矩阵的加法来说作成一个加群．因为对任意，有 1°=(加法结合律) 2°中存在零矩阵，使得对任意的，有 3°对于，有．使得 4°对于，有． 全体正整数对于数的乘法不作成群． 因为对于数的乘法来说，单位元是1，但是对于正整数a=2来说不存在正整数b使得a×b=1． 集合对于数的乘法作成阿贝尔群．因为 1°对于，，，，有 == 2°在中有，使得，有==． 3°对于，存在使得 ===1 4°对于，有==． 集合对于数的乘法来说不作成群．因为中的单位元是1，而对于不存在，使得． 集合对于数的乘法作成群（阿贝尔群）． 因为对于任三个元素来说，结合律显然成立．再者有单位元1．对于中元素来说==，并且1的逆元是1，的逆元是． 证明群中的指数规则（1）、（2）． 证明：设是一个群，，则，对于Z,如果，设， ，并且注意当时，对于，有．于是 1°当时，=； 2°当时，===，当时，同理可证．； 3°当时， =； 4°当时， ===． 所以对任意Z,都有=,即（1）式成立． 其次我们先证对于任意的Z，，都有=． ∵==== 再由定义=，根据中每一个元素的逆元的唯一性，∴=．以下证明等式（2）成立． 1°当时， == 2°当时， ===== 当时， ====． 3°当时， =====． 综上所述所证，群中指数规则（1）、（2）成立． 设，的乘法由下面的表给出： 证明对于所给的乘法作成一个群． 证明：根据的乘法表可知，，，所以的乘法是可换的，以下证明对于乘法作成一个群． 1°结合律成立．由于对于所给的乘法是可换的，对于结合律我们只要验证也容易验证以下的情况即可． ；；； ；；； ． 其它情况由的乘法可换性，立即可以证得． 2°中有单位元，使得对于中任意元素，都有 ，， 3°中每一个元素都有逆元，的逆元是，（因为），而的逆元是，的逆元是，（因为）． 所以对于所给的乘法作成一个（可换）群． 证明，一个群是阿贝尔群的充要条件是：对任意的和任意的整数，都有 ． 证明：必要性，已知群对乘法运算可换，且对结合律成立．设，而是任意的整数，因为对指数规则（1）、（2）成立．故有===…=． 充分性，设，而是整数，有，令，则有，即　===，所以=，在此等式两边左乘以并右乘以，得=，所以 =，即 =． 所以是一个阿贝尔群． 证明，群的两个子群的交还是的一个子群． 证明：设，是群的两个子群，则（至少有一个单位元）． 1°对于则且，因为，是子群，所以且，所以； 2°设，则且因为，是子群，所以且，所以， 所以，由子群的定义可知，是的一个子群． 证明，维欧氏空间的全体正交变换作成上一般线性群的一个子群，这个群称为上的正交群，用记号表示． 证明：一般线性群是指维欧氏空间上全体可逆线性变换的集合对上的线性变换与线性变换的乘法来说作成的群． 因为正交变换是可逆的线性变换，且单位变换也是正交变换．所以是的非空子集． 任意两个正交变换的乘积也是正交变换，即乘法封闭． 正交变换的逆变换也是正交变换． 所以，维欧氏空间的全体正交变换的集合是一般线性群的一个子群． 令是群中的一个元素，令，证明是的一个子群，称为由生成的循环子群．特别，如果=，就称是由生成的循环子群．试各举出一个无限循环子群和有限循环子群的例子． 证明：显然，故非空，设，，则；设，则，所以是的一个子群． 例1：设，运算是加法运算，则是无限循环群． 例2：设运算是剩余类的“加法”，则是由生成的有限循环群，它只有7个元素． 令=，设，定义 就是对的行作置换所得的矩阵，令=，其中是单位矩阵，证明作成的一个与同构的子群． 证明：首先注意以下的几个事实： 1°设，，……，，由矩阵的乘法可知=（） 2°集合=中的任一元素都是由阶单位矩阵的各行所给的若干次的置换而得到，所以，每一个的每一行和每一列都是只有一个位置上的元素为1，其余位置上的元素全为0，并且．而都是由的各行经过对换而得到的所以=． 3°容易计算，集合=共有个不同的元素，不妨设为：=；所以是群的一个非空子集． 现在证明与同构，由于是一个群，所以是的一个子群． 集合对的运算（即矩阵乘法）是封闭的．设，，则和是的两个元素（矩阵）．因为的第1，2，…，行分别是维向量，，…，，所以的第1，2，…，行分别是维向量，，…，，而的第1，2，…，行分别是维向量，，…，，由上述的事实2°可知的各列也是由一些单位向量所组成．设其在第1，2，…，列分别是维向量，，…，，此处，，…，是1，2，…，的某一个排列．设=（是矩阵）由矩阵的乘法可知的第行的各个元素分别是，，