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第三节 第一章
条件概率及事件
的相互独立性(23)
一、条件概率及乘法公式
二、全概率公式及贝叶斯公式
三、事件的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
在实际问题中, 除了要知到事件A 的概率P(A) , 有时还
要知道“在事件B发生的条件下, 事件A 的概率”, 这个概率
称为条件概率, 记作P(A |B) . 一般说来, P(A) 与P(A |B)是
不同的. 请看下面的例题.
例1. 箱子中有100件同型号的产品, 其中70件(50件正品,
20件次品)来自甲厂, 30件(25件正品,5件次品)来自乙厂,
现从箱子中任取1件产品:
(1) 求取得次品的概率; (2) 求取得甲厂产品的概率;
(3) 已知取得的是甲厂的产品, 求取得的是次品的概率.
解: 记A ={取得次品}, B ={取得甲厂产品},
AB ={取得次品,且是甲厂的产品},
A |B ={ 已知取得的是甲厂产品的条件下,取得的是次品}
由古典概率计算法可得:
25 1 70 7
P A .
(1) ( ) (2) ( )
P B .
100 4 100 10
20 2
此外有P (AB ) .
100 10
对于问题(3), 由于增加了一个条件“ 已知取得的是甲
厂产品”, 所以该问题实质上就是从甲厂70件产品(50件
正品,20件次品) 中,任取一件, 求取得的是次品的概率,
20 2
P A |B .
显然有: ( ) 此例表明: P (A) P (A| B ).
70 7
2
但是有P (A| B ) = 2 10 P (AB ) . 公式: P (A| B ) = P (AB )
7 7 P (B ) P (B )
10
虽然是从特殊的例子得到的, 但它对一般情形也是正确
的.由此可给出条件概率的定义.
定义1 设A , B 是两个随机事件, 且P(B) 0, 则称
P (AB )
P (A| B ) (1)
P (B )
为在事件B 发生的条件下, 事件A 发生的条件概率.
显然, 条件概率有如下性质:
①非负性:0 P (A| B ) 1.
②规范性:P (A |B ) + P (A |B ) 1.
由条件概率的定义可知:当P(A) 0时, 在事件A发生的条
P (AB )
件下, 事件B 发生的条件概率为P (B | A) (2
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